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[动态规划]---part1

作者：从前慢现在也慢 | 2024-03-23 11:01:41

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[动态规划]---part1

前言

作者：小蜗牛向前冲

专栏：小蜗牛算法之路

 专栏介绍："蜗牛之道，攀登大厂高峰，让我们携手学习算法。在这个专栏中，将涵盖动态规划、贪心算法、回溯等高阶技巧，不定期为你奉上基础数据结构的精彩算法之旅。一同努力，追逐技术的星辰大海。"

 

目录

 一、什么是动态规划

1、什么是动态规划

2、动态规划的学习

二、动态规划刷题

1、第 N 个泰波那契数

a、解题思路：

b、代码 

2、   面试题 08.01. 三步问题

 a、解题思路：

b、代码

3 、746. 使用最小花费爬楼梯

a、解题思路 

b、代码

  4、解码方法

a、解题思路 

b、代码

c、代码优化 

 5、不同路径（medium）

a、解题思路 

b、代码

本期我们将探讨动态规划，并提供5道经典动态规划问题，难度由浅入深。

 一、什么是动态规划

1、什么是动态规划

在学习算法的过程中，我们往往会遇到一些算法题是要用动态规划来解决。

但是做为小白的我们哪里知道动态规划是什么？

从概念上说

动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法设计技术。它通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，通过将问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来构建原始问题的解。

看完概念我们知道什么是动态规划，求重叠类子问题的 一般会用到动态规划的思路。

那我们如何求学习动态规划

2、动态规划的学习

对于算法类题目，在我们掌握算法的基本原理后，就是进行大量刷题，进经验的总结。

求解动态规划的五步骤：

1、状态表示

 在求解过程中，我们往往要创建dp表(其实就是数组），状态表示就是我们要找出dp表中值的含义是什么。

状态表 怎么来？

  • 根据题目要求
  • 经验+题目要求
  • 分析题目的过程中，发现重复子问题

 2、状态转移方程

 简单说是和dp[i]有关的一个方程

 3、初始化

保证在填写dp表的时候不越界

4、填写顺序 

 根据前面的计算得来，可以从前往后，也可以从后往前。

 5、返回值

根据题目要求+状态表示

 讲完了解题步骤，下面就进行刷题训练。

特别提醒：后面博客会带领大家由易到难进行刷题，每期都为五题。

二、动态规划刷题

1、第 N 个泰波那契数

泰波那契序列 Tn 定义如下： 

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1：

输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：

输入：n = 25
输出：1389537

提示：

  • 0 <= n <= 37
  • 答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

a、解题思路：

1、题目中的状态表示是什么？

 dp[i] 表⽰：第 i 个泰波那契数的值。

2、状态转移方程

由题目意很很容易知道是T(n) = T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)

3、初始化dp表

为了防止数组越界我们只需要初始化:

dp[0]=0;

dp[1]=1;

dp[2]=1;

4、 填表顺序

由状态方程+题意知道从左往右填写到N

5、返回值

根据题目要求和dp[i]就为dp[n]

b、代码 

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int tribonacci(int n) 
  4.     {
  5.         //动态规划
  6.         //1.创建dp表
  7.         //2.初始化表
  8.         //3.填表
  9.         //4.返回值
  10.  
  11.         //处理边界情况
  12.         if(n==0)return 0;
  13.         if(n==1||n==2)return 1;
  14.  
  15.         //1、创建dp表
  16.         vector<int> dp(n+1);
  17.         //2、初始化表
  18.         dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=1;
  19.         //3、填表
  20.         for(int i = 3;i<=n;i++)
  21.         {
  22.             dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];
  23.         }
  24.         //4、返回
  25.         return dp[n];
  26.  
  27.     }
  28. };

Leetcode 测试结果： 

2、   面试题 08.01. 三步问题

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:

 输入：n = 3 
 输出：4
 说明: 有四种走法

示例2:

 输入：n = 5
 输出：13

提示:

  1. n范围在[1, 1000000]之间

 a、解题思路：

从0位置开始跳，下面我们来思考一下题意：

 ----->（表示跳台阶）

n=1时候

从0----->1 

走法为1

n=2时候

从0----->2

或者说我们让1----->2因为从 0----->1的走法我们已经考虑过了

走法为2

n=3时候

从0----->3或者说

我们让1----->3因为从 0----->1的走法我们已经考虑过了走法为1

也可以2----->3因为从 0----->2的走法我们已经考虑过了走法为2

走法为1+1+2=4

n=4时候

不管怎么说先走到1，在从1----->4走法为1

不管怎么说先走到2，在从2----->4走法为2

不管怎么说先走到3，在从3----->4走法为4

总共走法：1+2+4=7

大家这里是不是已经思路清晰起来了 

1、转态表示

以i位置为结尾，正好是到达第N个台阶，所以我们认为：

dp[i]表示：到达i位置时，一共有多少方法。

 2、状态转移方程

以i位置的状态，最近进的一步进行划分

从(i-1)--->i   dp[i-1]种走法

从(i-2)--->i   dp[i-2]种走法

从(i-3)--->i   dp[i-3]种走法

所以状态方程为：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3] ;

3、初始化

这里我们注意我们用不到i==0,因为0台阶的研究没有意义。

  dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4;

4、 填表顺序

根据前面的推断肯定是从左往右。

5、返回值

根据题目要求和dp[i]就为dp[n]

b、代码

这题虽然和第一题非常相似但是有细节要处理、

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     //取模
  4.     const int MOD = 1e9 + 7;
  5.     int waysToStep(int n)
  6.     {
  7.         //处理边界情况：
  8.         if (n == 1 || n == 2)return n;
  9.         if (n == 3)return 4;
  10.  
  11.         //创建dp表
  12.         vector<int> dp(n + 1);
  13.  
  14.         //初始化
  15.         dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4;
  16.  
  17.         //填表
  18.         for (int i = 4; i <= n; i++)
  19.         {
  20.             //结果可能很大要进去取模
  21.             dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD;
  22.         }
  23.         //返回
  24.         return dp[n];
  25.     }
  26. };

Leetcode 测试结果： 

3 、746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

  • 2 <= cost.length <= 1000
  • 0 <= cost[i] <= 999

a、解题思路 

这里我们要注意到达楼顶，应该是const数组最后一个位置的下一个位置

这里我们有二种思路：

思路一：

1、转态表示

以i位置为结尾，正好是楼顶，所以我们认为：

dp[i]表示：到达i位置时，最小花费

 2、状态转移方程

根据最近的一个位置划分

先到达i-1的位置，然后支付const[i-1],走一步， 花费：dp[i-1]+cost[i-1]

先到达i-2的位置，然后支付const[i-2],走一步， 花费：dp[i-2]+cost[i-2]

所以dp[i] =min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);

3、初始化

保证dp表不越界就好dp[0]=dp[1]=0;

4、 填表顺序

从左往右

5、返回值

dp[n]

思路2：

1、转态表示

以i位置为起点，到达楼顶，所以我们认为：

dp[i]表示：从i位置出发到达楼顶，此时最小花费

 2、状态转移方程

根据最近的一个位置划分

  • 支付const[i],往后走一步， 从i+1位置出发到楼顶，花费：dp[i+1]+cost[i]
  • 支付const[i],往后走二步， 从i+2位置出发到楼顶，花费：dp[i+2]+cost[i]

所以dp[i] =min(dp[i+1]+cost[i],dp[i+2]+cost[i]);

3、初始化

保证dp表不越界就好dp[n-1]=cost[n-1],dp[n-2]=cost[n-2];

4、 填表顺序

从右往左

5、返回值

min(dp[0],dp[1]);

b、代码

这里有二种解题思路：

思路一：

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) 
  4.     {
  5.         //处理边界情况
  6.         int n = cost.size();
  7.         if(n==0||n==1)return cost[n];
  8.         //创建dp表
  9.         vector<int> dp(n+1);
  10.         //填表
  11.         for(int i = 2;i<=n;i++)
  12.         {
  13.             dp[i] =min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
  14.         }
  15.         //返回
  16.         return dp[n];
  17.     }
  18. };

 Leetcode 测试结果： 

 解法二：

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost)
  4.     {
  5.         int n = cost.size();
  6.         //创建dp表
  7.         vector<int> dp(n+1);
  8.         //初始化
  9.         dp[n-1]=cost[n-1],dp[n-2]=cost[n-2];
  10.         //填表
  11.         for(int i = n-3;i>=0;i--)
  12.         {
  13.             dp[i] = min(dp[i+1]+cost[i],dp[i+2]+cost[i]);
  14.         }
  15.         //返回
  16.         return min(dp[0],dp[1]);
  17.     }
  18. };

 Leetcode 测试结果：  

  4、解码方法

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：

'A' -> "1"
'B' -> "2"
...
'Z' -> "26"

要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，"11106" 可以映射为：

  • "AAJF" ，将消息分组为 (1 1 10 6)
  • "KJF" ，将消息分组为 (11 10 6)

注意，消息不能分组为  (1 11 06) ，因为 "06" 不能映射为 "F" ，这是由于 "6" 和 "06" 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

 

示例 1：

输入：s = "12"
输出：2
解释：它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。

示例 2：

输入：s = "226"
输出：3
解释：它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。

示例 3：

输入：s = "06"
输出：0
解释："06" 无法映射到 "F" ，因为存在前导零（"6" 和 "06" 并不等价）。

提示：

  • 1 <= s.length <= 100
  • s 只包含数字，并且可能包含前导零。

a、解题思路 

看我们题目后，根据经验此题位动态规划解题

1、转态表示

首先我们想以i位置为结尾表示什么

dp[i]表示：以i位置结尾的时候，解码的方法有多少种

 2、状态转移方程

根据最近的一个位置划分

让s[i]单独解码的时候,假设a=s[i]

  • 成功,a!='0'（或者说是a>='1'&&a<='9'），解码的种类有dp[i-1]种
  • 失败为0

让s[i-1]和s[i]组合进行解码 假设组合为b

  • 成功b>='10'&&b<='26',解码的种类有dp[i-2]种
  • 失败为0

有同学可能会想为什么不让dp[i]和dp[i+1]进行组合，但是大家 要明白，填表到dp[i]的时候，我们是知道dp[i-1]有多少种解码，但是我们不知道dp[i+1]有多少种解码。

所以状态转移方法为

单独解码

dp[i] +=dp[i-1];

组合解码

dp[i]=dp[i-2];

3、初始化

保证dp表

  1. dp[0] = s[0]!='0';
  2.  
  3. if(s[0]!='0'&&s[1]!='0') dp[1] +=dp[0];
  4.  
  5. //这里我们还要把组合转换为数字进行判断
  6.  
  7. int t = (s[0]-'0')*10+(s[1]-'0');
  8.  
  9. if(t>=10&&t<=26) dp[1] +=1;

4、 填表顺序

从左往右

5、返回值

dp[n-1]

b、代码

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int numDecodings(string s)
  4.     {
  5.         //创建dp表
  6.         int n = s.size();
  7.         vector<int> dp(n);
  8.         //初始化
  9.         dp[0] = s[0]!='0';
  10.         //处理边界情况
  11.         if(n==1) return dp[0];
  12.         //单解码
  13.         if(s[0]!='0'&&s[1]!='0') dp[1] +=dp[0];
  14.         //组合起来
  15.         int t = (s[0]-'0')*10+(s[1]-'0');
  16.         if(t>=10&&t<=26) dp[1] +=1;
  17.  
  18.         //填表
  19.         for(int i = 2;i<n;i++)
  20.         {
  21.             //单解码
  22.             if(s[i]!='0') dp[i] +=dp[i-1];
  23.             //双解码
  24.             int t = (s[i-1]-'0')*10+(s[i]-'0');
  25.             if(t>=10&&t<=26) dp[i] +=dp[i-2];
  26.         }
  27.  
  28.         //返回
  29.         return dp[n-1];
  30.     }
  31. };

 Leetcode 测试结果： 

c、代码优化 

不知道大家分发现没，我们在初始化的代码和填表的代码，有着非常相似的特色，那我们能不能进行优化呢？

其实是可以的，多一个数组的空间就可以了。

简单的理解就是，把初始化的过程和填表合并了。但要注意二个问题：

那个虚拟节点dp[0]填写多少？后面大家做都了这种题，很多情况下都是填写0但，但是这里却是填写dp[0]=1; 

为什么了，因为我们这里要保证后面填写的正确

比如：在进双解码的时候dp[i]+=dp[i-2]，如何i=2时候，这里我们吧dp[0]初始化为0就会漏掉这种情况。

下标映射关系如上图。

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int numDecodings(string s)
  4.     {
  5.         //创建dp表
  6.         int n = s.size();
  7.         vector<int> dp(n+1);
  8.         //初始化
  9.         dp[0] = 1;//保证后面的填表的正确性
  10.         //处理边界情况
  11.         dp[1] = s[1-1]!='0';
  12.         if(n==1) return dp[1];
  13.         //填表
  14.         for(int i = 2;i<=n;i++)
  15.         {
  16.             //单解码
  17.             if(s[i-1]!='0') dp[i] +=dp[i-1];
  18.             //双解码
  19.             int t = (s[i-2]-'0')*10+(s[i-1]-'0');
  20.             if(t>=10&&t<=26) dp[i] +=dp[i-2];
  21.         }
  22.  
  23.         //返回
  24.         return dp[n];
  25.     }
  26. };

 Leetcode 测试结果：  

 5、不同路径（medium）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

 

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

a、解题思路 

看我们题目后，根据经验此题位动态规划解题

1、转态表示

首先我们想以i，j位置为结尾表示什么

dp[i][j表示：以i,j位置结尾的时候，机器人到这里有多少条路径

 2、状态转移方程

根据最近的一个位置划分

我要求到[i,j] 路径，本质上就是求dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]的路径和

所以状态转移方法为

dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

3、初始化

这里我们要初始化，就是在二维数组多开一行和一列，但我们要思路多开的行列填什么呢（一切都是为了填表走服务）？，很明显，在根据dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];填写表格的时候，走一步就到终点，那最外层从从到都应该填1（dp[i][j表示：以i,j位置结尾的时候，机器人到这里有多少条路径），为达到这不目的，应该把dp[0][1]=1其余为0。

4、 填表顺序

从上往下填写每一行，每一行都是从左往又开始填写 

5、返回值

dp[m][n]

b、代码

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int uniquePaths(int m, int n)
  4.     {
  5.         //创建二维dp表
  6.         vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
  7.         //初始化
  8.         dp[0][1] = 1;
  9.         //填表
  10.         for (int i = 1; i <= m; i++)
  11.         {
  12.             for (int j = 1; j <= n; j++)
  13.             {
  14.                 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
  15.             }
  16.         }
  17.         return dp[m][n];
  18.     }
  19. };

 Leetcode 测试结果：   

 

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