机器学习（十三）——机器学习中的矩阵方法（3）病态矩阵、协同过滤的ALS算法（1）

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向量的范数（续）

范数可用符号$\Vert x{\Vert }_{\lambda }$表示。常用的有：

$$\Vert x{\Vert }_1=|x_1|+\cdots +|x_n|$$

$$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$$

$$\Vert x{\Vert }_{\infty }=max(|x_1|,\dots ,|x_n|)$$

这里不做解释的给出如下示意图：

其中，0范数表示向量中非0元素的个数。上图中的图形被称为$l_p$ ball。表征在同一范数条件下，具有相同距离的点的集合。

范数满足如下不等式：

$$\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert (三角不等式)$$

向量范数推广可得到矩阵范数。某些矩阵范数满足如下公式：

$$\Vert A\cdot B\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$$

这种范数被称为相容范数。

注：矩阵范数要比向量范数复杂的多，还包含一些不可以由向量范数来诱导的范数，如Frobenius范数。而且只有极少数矩阵范数，可由简单表达式来表达。这里篇幅有限，不再赘述。

病态矩阵

现在有线性系统$Ax=b$：

[ 400 − 201 − 800 401 ] [ x 1 x 2 ] = [ 200 − 200 ]

$$\begin{bmatrix} 400 & -201 \\-800 & 401 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 200 \\ -200 \end{bmatrix}$$ [400−800​−201401​][x1​x2​​]=[200−200​]

很容易得到解为：$$x_1=-100,x_2=-200$$。如果在样本采集时存在一个微小的误差，比如，将 A矩阵的系数400改变成401：

[ 401 − 201 − 800 401 ] [ x 1 x 2 ] = [ 200 − 200 ]

$$\begin{bmatrix} 401 & -201 \\-800 & 401 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 200 \\ -200 \end{bmatrix}$$ [401−800​−201401​][x1​x2​​]=[200−200​]

则得到一个截然不同的解：$x_1=40000,x_2=79800$。

当解集x对A和b的系数高度敏感，那么这样的方程组就是病态的 (ill-conditioned/ill-posed)。

从上例的情况来看，矩阵的行向量 [ 400 − 201 ]

$$\begin{bmatrix} 400 & -201\end{bmatrix}$$ [400​−201​]和$\left[\begin{array}{cc}-800& 401\end{array}\right]$实际上是过于线性相关了，从而导致矩阵已经接近奇异矩阵（near singular matrix）。

病态矩阵实际上就是奇异矩阵和近奇异矩阵的另一个说法。

参见：

http://www.cnblogs.com/daniel-D/p/3219802.html

矩阵的条件数

我们首先假设向量b受到扰动，导致解集x产生偏差，即：

$$A(x+\Delta x)=b+\Delta b$$

也就是：

$$A\Delta x=\Delta b$$

因此，由矩阵相容性可得：

$$\Vert \Delta x\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert \Delta b\Vert$$

同时，由于：

$$\Vert A\Vert \cdot \Vert x\Vert \ge \Vert b\Vert$$

所以：

$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert A\Vert \cdot \Vert x\Vert }\le \frac{\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }$$

即：

$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le \frac{\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }$$

我们定义矩阵的条件数$$K(A)=\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert$$，则上式可写为：

$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le K(A)\frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }$$

同样的，我们针对A的扰动，所导致的x的偏差，也可得到类似的结论：

$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x+\Delta x\Vert }\le K(A)\frac{\Vert \Delta A\Vert }{\Vert A\Vert }$$

可见，矩阵的条件数是描述输入扰动对输出结果影响的量度。显然，条件数越大，矩阵越病态。

然而这个定义，在病态矩阵的条件下，并不能直接用于数值计算。因为浮点数所引入的微小的量化误差，也会导致求逆结果的很大误差。所以通常情况下，一般使用矩阵的特征值或奇异值来计算条件数。

假设A是2阶方阵，它有两个单位特征向量$x_1,x_2$和相应的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2$。

由之前的讨论可知，$x_1,x_2$是相互正交的。因此，向量b能够被$x_1,x_2$的线性组合所表示，即：

$$b=m{x}_1+n{x}_2=\frac{m}{{\lambda }_1}{\lambda }_1{x}_1+\frac{n}{{\lambda }_2}{\lambda }_2{x}_2=A(\frac{m}{{\lambda }_1}{x}_1+\frac{n}{{\lambda }_2}{x}_2)$$

从这里可以看出，b在$x_1,x_2$上的扰动，所带来的影响，和特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2$有很密切的关系。奇异值实际上也有类似的特点。

因此，一般情况下，条件数也可以由最大奇异值与最小奇异值之间的比值，或者最大特征值和最小特征值之间的比值来表示。这里的最大和最小，都是针对绝对值而言的。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Condition_number

矩阵规则化

病态矩阵处理方法有很多，这里只介绍矩阵规则化（regularization）方法。

机器学习领域，经常用到各种损失函数（loss function），也称花费函数（cost function）。这里我们用：

$$\underset{f}{\min }\sum _{i=1}^{n}V(f({\hat{x}}_i),{\hat{y}}_i)$$

表示损失函数。

当样本数远小于特征向量维数时，损失函数所表示的矩阵是一个稀疏矩阵，而且往往还是一个病态矩阵。这时，就需要引入规则化因子用以改善损失函数的稳定性：

$$\underset{f}{\min }\sum _{i=1}^{n}V(f({\hat{x}}_i),{\hat{y}}_i)+\lambda R(f)$$

其中的$\lambda$表示规则化因子的权重。

注：稀疏矩阵并不一定是病态矩阵，比如单位阵就不是病态的。但是从系统论的角度，高维空间中样本量的稀疏，的确会带来很大的不确定性。

函数V（又叫做Fit measure）和R（又叫做Entropy measure），在不同的算法中，有不同的取值。

比如，在Ridge regression问题中：

$$\text{Fit measure}:\Vert Y-X\beta {\Vert }_2,\text{Entropy measure}:\Vert \beta {\Vert }_2$$

Ridge regression问题中规则化方法，又被称为$L_2$ regularization，或Tikhonov regularization。

注：Andrey Nikolayevich Tikhonov，1906~1993，苏联数学家和地球物理学家。大地电磁学的发明人之一。苏联科学院院士。著有《Solutions of Ill-posed problems》一书。

更多的V和R取值参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Regularization_(mathematics)

从形式上来看，对比之前提到的拉格朗日函数，我们可以发现规则化因子，实际上就是给损失函数增加了一个约束条件。它的好处是增加了解向量的稳定度，缺点是增加了数值解和真实解之间的误差。

为了更便于理解规则化，这里以二维向量空间为例，给出了规则化因子对损失函数的约束效应。

上图中的圆圈是损失函数的等高线，坐标原点是规则化因子的约束中心，左图的方形和右图的圆形是$l_p$ ball。图中的黑点是等高线和$l_p$ ball的焦点，实际上也就是这个带约束的优化问题的解。

可以看出$L_1$ regularization的解一般出现在坐标轴上，因而其他坐标上的值就是0，因此，$L_1$ regularization会导致矩阵的稀疏。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Tikhonov_regularization

http://www.mit.edu/~cuongng/Site/Publication_files/Tikhonov06.pdf

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

协同过滤的ALS算法

协同过滤概述

注：最近研究商品推荐系统的算法，因此，Andrew Ng讲义的内容，后续再写。

协同过滤是目前很多电商、社交网站的用户推荐系统的算法基础，也是目前工业界应用最广泛的机器学习领域。

协同过滤是利用集体智慧的一个典型方法。要理解什么是协同过滤 (Collaborative Filtering,简称CF)，首先想一个简单的问题，如果你现在想看个电影，但你不知道具体看哪部，你会怎么做？大部分的人会问问周围的朋友，看看最近有什么好看的电影推荐，而我们一般更倾向于从口味比较类似的朋友那里得到推荐。这就是协同过滤的核心思想。

如何找到相似的用户和物品呢？其实就是计算用户间以及物品间的相似度。以下是几种计算相似度的方法：

欧氏距离

$$d(x,y)=\sqrt{\sum (x_i-y_i{)}^2},sim(x,y)=\frac{1}{1+d(x,y)}$$

Cosine相似度

$$\cos (x,y)=\frac{⟨x,y⟩}{|x||y|}=\frac{\sum x_i{y}_i}{\sqrt{\sum x_i^2}\sqrt{\sum y_i^2}}$$

皮尔逊相关系数（Pearson product-moment correlation coefficient，PPMCC or PCC）：

p ( x , y ) = c o v ( X , Y ) σ X σ Y = E ⁡ [ X Y ] − E ⁡ [ X ] E ⁡ [ Y ] E ⁡ [ X 2 ] − E ⁡ [ X ] 2   E ⁡ [ Y 2 ] − E ⁡ [ Y ] 2 = n ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i n ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2   n ∑ y i 2 − ( ∑ y i ) 2

$$\begin{align} p(x,y)&=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{\operatorname{E}[XY]-\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[Y]}{\sqrt{\operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]^2}~\sqrt{\operatorname{E}[Y^2]- \operatorname{E}[Y]^2}} \\&=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{\sqrt{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}~\sqrt{n\sum y_i^2-(\sum y_i)^2}} \end{align}$$ p(x,y)​=σX​σY​cov(X,Y)​=E[X2]−E[X]2 ​ E[Y2]−E[Y]2 ​E[XY]−E[X]E[Y]​=n∑xi2​−(∑xi​)2 ​ n∑yi2​−(∑yi​)2 ​n∑xi​yi​−∑xi​∑yi​​​​

该系数由Karl Pearson发明。参见《机器学习（二）》中对Karl Pearson的简介。Fisher对该系数也有研究和贡献。

如上图所示，Cosine相似度计算的是两个样本点和坐标原点之间的直线的夹角，而PCC计算的是两个样本点和数学期望点之间的直线的夹角。

PCC能够有效解决，在协同过滤数据集中，不同用户评分尺度不一的问题。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient

Spearman秩相关系数（Spearman’s rank correlation coefficient）

对秩变量（ranked variables）套用PCC公式，即可得Spearman秩相关系数。

秩变量是一类不在乎值的具体大小，而只关心值的大小关系的统计量。

如上表所示，$X_i$和$Y_i$是原始的变量值，$x_i$和$y_i$是rank之后的值，$d_i=x_i-y_i$。

当$X_i$和$Y_i$没有重复值的时候，也可用如下公式计算相关系数：

$$r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$$

注：Charles Spearman，1863～1945，英国心理学家。这个人的经历比较独特，20岁从军，15年之后退役。然后，进入德国莱比锡大学读博，中间又被军队征召，参加了第二次布尔战争，因此，直到1906年才拿到博士学位。伦敦大学学院心理学教授。
尽管他的学历和教职，都是心理学方面的。但他最大的贡献，却是在统计学领域。他也是因为在统计学方面的成就，得以当选皇家学会会员。
话说那个时代的统计学大牛，除了Fisher之外，基本都是副业比主业强。只有Fisher，主业方面也是那么牛逼，不服不行啊。

由上图可见，Pearson系数关注的是两个变量之间的线性相关度，而Spearman系数可以应用到非线性或者难以量化的领域。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Spearman%27s_rank_correlation_coefficient