关于一维和二维数据的差分和梯度的计算（使用 num.diff() 和 numpy.gradient() )_一列数据的差分和有几个

关于一维数据的差分和梯度的计算

一维数据的差分公式：
一阶差分：

• 一阶前向差分：下一个值与当前值的差
  $f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k)$
• 一阶后向差分：当前值与上一个值的差
  $f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1})$
• 一阶中心差分：下一个值与上一个值的差除以2
  $f(x_k)=\frac{f(x_{k+1})-f(x_{k-1})}{2}$

二阶差分：
对一阶前向差分的输出再做一阶前向差分，如：

• 二阶前向差分：
  $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x_k)& =f^{\prime }(x_{k+1})-f^{\prime }(x_k)\\ & =(f(x_{k+2})-f(x_{k+1}))-(f(x_{k+1})-f(x_k))\\ & =f(x_{k+2})+f(x_k)-2\ast f(x_{k+1})\end{array}$$

梯度：
一维数据的梯度就是前后两点的变化率，即一阶中心差分。

差分计算示例（一维数据）

环境： notebook + numpy 1.20.2

import numpy as np
f=np.array([0,2,3,6,2,-1])
d1=np.diff(f)
d2=np.diff(f,2) 
print('初始数据:',f)
print('一阶差分:',d1)
print('二阶差分:',d2)
1
2
3
4
5
6
7

初始数据: [ 0 2 3 6 2 -1]
一阶差分: [ 2 1 3 -4 -3]
二阶差分: [-1 2 -7 1]

其中：

• 一阶差分中： 2 = 2 - 0， 1 = 3 - 2， 3 = 6 - 3 …
• 二阶差分中：-1 = 1 - 2， 2 = 3 - 1…

可以看出：

• np.diff() 是计算 前向差分
• 输出结果比原数据少一个元素

如要使输出的数据长度与原数据一致，可在最前面增加一个数：

np.diff(f, prepend=-1)
1

array([ 1, 2, 1, 3, -4, -3])
在原数据前增加一个数（-1）后，输出结果比不加的多了一个元素（最前面的1，它等于原数据的第一个元素0减增加的元素-1）
可在最后面增加一个数：

np.diff(f, append=-1)
1

array([ 2, 1, 3, -4, -3, 2])

差分计算示例（二维数据）

import numpy as np
f=np.array([[-1,2,3,6],[2,4,6,8],[9,2,7,4]])
d1=np.diff(f) # 缺省axis, 按最后一个维度差分，对二维数据来说就是按第二个维度差分
d2=np.diff(f,axis=0) # 按第一个维度差分
print('初始数据:\n',f)
print('横向差分:\n',d1)
print('纵向差分:\n',d2)
1
2
3
4
5
6
7

初始数据:
[[-1 2 3 6]
[ 2 4 6 8]
[ 9 2 7 4]]
横向差分:
[[ 3 1 3]
[ 2 2 2]
[-7 5 -3]]
纵向差分:
[[ 3 2 3 2]
[ 7 -2 1 -4]]
可以看出，横向差分少一列、纵向差分少一行。

梯度计算示例（一维数据）

import numpy as np
f=np.array([0,2,4,6,4,2,-4.])
g1=np.gradient(f)
g2=np.gradient(f,2) # 缩小比例
print('数据:',f)
print('梯度:',g1)
print('缩小:',g2)
1
2
3
4
5
6
7

数据: [ 0. 2. 4. 6. 4. 2. -4.]
梯度: [ 2. 2. 2. 0. -2. -4. -6.]
缩小: [ 1. 1. 1. 0. -1. -2. -3.]
其中，输出的第二行，梯度：

• 第2个元素 = 数据中的第3和第1个元素的差除以2，…；
• 梯度两端的元素可理解为差分

输出的第三行，缩小：
当计算时使用第2个参数，表示缩小尺度，取2表示缩小一半，取0.5表示放大一倍，取-1表示符号取反。

梯度计算示例（二维数据）

import numpy as np
f=np.array([[0,-2,2,4],[1,3,7,5],[4,2,8,6.]])
d=np.gradient(f)
print('计算数据：\n',f)
print('纵向梯度：\n',d[0])
print('横向梯度：\n',d[1])
1
2
3
4
5
6

计算数据：
[[ 0. -2. 2. 4.]
[ 1. 3. 7. 5.]
[ 4. 2. 8. 6.]]
纵向梯度：
[[ 1. 5. 5. 1.]
[ 2. 2. 3. 1.]
[ 3. -1. 1. 1.]]
横向梯度：
[[-2. 1. 3. 2.]
[ 2. 3. 1. -2.]
[-2. 2. 2. -2.]]
计算时没指定维度，两个维度的都计算（分纵向和横向）；
可用 axis=n 来指定维度：

d=np.gradient(f, axis=1)
print('横向梯度：\n',d)
1
2

横向梯度：
[[-2. 1. 3. 2.]
[ 2. 3. 1. -2.]
[-2. 2. 2. -2.]]