双目摄像头标定——相机标定(Camera calibration)推导过程_双目相机标定cream-centric

作者：从前慢现在也慢 | 2024-05-20 20:59:00

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双目相机标定cream-centric

参考资料来自于UIUC的计算机视觉课件：Computer Vision

一.介绍

摄像机标定分为两部分：

1.从世界坐标系转换到相机坐标系，由于这两个坐标系都是三维的，所以这一部分就是三维空间转到另外一个三维空间

2.从相机坐标系转换到图像坐标系，由于图像坐标系是二维的，所以这一部分就是三维空间转到另外一个二维空间

二.世界坐标系转换到相机坐标系

在上图中，C代表着相机坐标系的原点，O代表着世界坐标系的原点，我们只需要一个平移操作（平移到原点重合）和一个旋转操作（旋转到三个轴对齐）就可以将世界坐标系转换到相机坐标系，公式： $\widetilde{X}_{cam}= R(\widetilde{X}-\widetilde{C})$ ,其中R表示旋转矩阵， $\widetilde{X}$ 表示x点在世界坐标系中的位置， $\widetilde{C}$ 表示相机坐标系的原点C在世界坐标系中的位置， $\widetilde{X}_{cam}$ 表示x点在相机坐标系的位置。

三.相机坐标系转换到图像坐标系

在上图中，C是相机中心，p为图像中心，相机坐标系和图像坐标系的Z轴在一条线上。将上图进行简单的投影，我们可以得到下图，其中f为相机的焦距，这里就有一个等比列对称关系，当把相机坐标系一点（X，Y，Z）投影到图像坐标系中的点(x,y),就可以通过x=f*X/Z，y=f*Y/Z来计算出来。

通过上面的转换，只能把相机坐标系转换和像平面坐标系转换到同一个平面下，如下图所示，因此还需要一个平移操作，p在像平面坐标系的位置为（px，py），可以得到最终的变换公式：x=f*X/Z +px，y=f*Y/Z+py

上面的公式推导完了，但没具体看到我们所需要的相机内参K和投影矩阵P，那么就接着把上面的公式进行变换：

$\bigl(\begin{smallmatrix} f*X + Z*px\\ f*Y + Z*py\\ Z \end{smallmatrix}\bigr)=\begin{bmatrix} f & 0& px& 0\\ 0 & f& py& 0\\ 0 & 0& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 0& px\\ 0& f& py\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{pmatrix}$

公式中K为：

$\begin{bmatrix} f & 0& px\\ 0 & f & py\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

,P为

$\begin{bmatrix} f & 0 & px\\ 0 & f& py\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0 & 1& 0 \end{bmatrix}=K[I|0]$

推导到现在，有没有发现一个问题，相机坐标系和图像坐标系的衡量单位是一样的吗？相机坐标系是以m为单位，图像坐标系中是以多少个像素点为单位。假设mx为在水平方向的1m所包含像素点个数，my为在竖直方向的1m所包含像素点个数，那么K就更新为：

$\begin{bmatrix} mx & 0& 0\\ 0& my& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f & 0& px\\ 0& f& py\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} fx & 0& cx\\ 0& fy& cy\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

，其中fx、fy、cx和cy就是相机内参数矩阵得到的四个参数

四.世界坐标系转换到图像坐标

在第二节中，我们得到世界坐标系转换到相机坐标系公式： $\widetilde{X}_{cam}= R(\widetilde{X}-\widetilde{C})$ ，为了方便公式之间的转换，我们也把它用矩阵形式来表示：

在第三节中，我们得到相机坐标系转换到图像坐标系的投影矩阵P： $K[I|0]$

那么综合起来，世界坐标系转换到图像坐标的公式为：

最终得到的P为： $K[R|t]$ ，其中t为 $-R\widetilde{C}$ 。总结一下，K为相机内参，是一个固有属性；R和t都为相机外参，其中R为旋转矩阵，t为平移向量。

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