数据结构-满二叉树-完全二叉树-完美二叉树-二叉查找树-AVL树-红黑树-B/B+树_完美树是什么意思

一、满二叉树（Full Binary Tree）

每个结点有0个或者2个孩子，即除了叶子结点外，所有结点都有2个孩子。

满二叉树举例：

二、完全二叉树（Complete Binary Tree）

完全二叉树的每层结点完全填满，最后一层可以不满，若不满时只能缺少右边的若干结点，即结点全部集中在左侧。

完全二叉树举例：

 

三、完美二叉树（Perfect Binary Tree）

所有的 internal nodes（内部结点）都有2个孩子，所有的叶子结点都在同一层。

internal nodes介绍：

完美二叉树举例：

高度为h的完美二叉树的结点总数为：$2^{h}$ – 1。（高度h是从根结点到叶子结点的层数）

 

四、二叉查找树（Binary Search Tree）

1 简介

二叉查找树也称为有序二叉查找树，满足二叉查找树的一般性质，是指一棵空树具有如下性质:

• 任意节点左子树不为空，则左子树的值均小于根节点的值；

• 任意节点右子树不为空，则右子树的值均大于于根节点的值；

• 任意节点的左右子树也分别是二叉查找树；

• 没有键值相等的节点。

注意，二叉查找树的中序遍历一定是从小到大的。

二叉查找树举例：

 

2 局限性

一个二叉查找树是由n个节点随机构成，所以，对于某些情况,二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链。如果我们的根节点选择是最小或者最大的数，那么二叉查找树就完全退化成了线性结构。

 

 

五、AVL树

1 简介

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，一般是用平衡因子差值判断是否平衡并通过旋转来实现平衡，左右子树树高不超过1，和红黑树相比，它是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足(所有节点的左右子树高度差不超过1)。不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡，而旋转是非常耗时的，由此我们可以知道AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。

AVL树举例：

 

2 局限性

由于维护这种高度平衡所付出的代价比从中获得的效率收益还大，故而实际的应用不多，更多的地方是用追求局部而不是非常严格整体平衡的红黑树。当然，如果应用场景中对插入删除不频繁，只是对查找要求较高，那么AVL还是较优于红黑树。

3 应用

Windows NT内核中广泛存在。

六、红黑树

1 简介

一种二叉查找树，但在每个节点增加一个存储位表示节点的颜色，可以是red或black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色的方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其它路径长出两倍。它是一种弱平衡二叉树(由于是弱平衡，可以推出，相同的节点情况下，AVL树的高度低于红黑树)，相对于要求严格的AVL树来说，它的旋转次数变少，所以对于搜索，插入，删除操作多的情况下，我们就用红黑树。

2 性质

• 每个节点非红即黑；

• 根节点是黑的；

• 每个叶节点(叶节点即树尾端NUL指针或NULL节点)都是黑的；

• 如果一个节点是红的，那么它的两儿子都是黑的；

• 对于任意节点而言，其到叶子点树NIL指针的每条路径都包含相同数目的黑节点；

• 每条路径都包含相同的黑节点；

3 应用

• 广泛用于C++的STL中，map和set都是用红黑树实现的。

• 著名的linux进程调度Completely Fair Scheduler，用红黑树管理进程控制块，进程的虚拟内存区域都存储在一棵红黑树上，每个虚拟地址区域都对应红黑树的一个节点，左指针指向相邻的地址虚拟存储区域，右指针指向相邻的高地址虚拟地址空间。

• IO多路复用epoll的实现采用红黑树组织管理sockfd，以支持快速的增删改查。

• ngnix中，用红黑树管理timer，因为红黑树是有序的，可以很快的得到距离当前最小的定时器。

• java中TreeMap的实现。

七、B/B+树

1 简介

B/B+树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种平衡多路查找树（相对于二叉，B树每个内节点有多个分支），与红黑树相比，在相同的的节点的情况下，一颗B/B+树的高度远远小于红黑树的高度(在下面B/B+树的性能分析中会提到)。B/B+树上操作的时间通常由存取磁盘的时间和CPU计算时间这两部分构成，而CPU的速度非常快，所以B树的操作效率取决于访问磁盘的次数，关键字总数相同的情况下B树的高度越小，磁盘I/O所花的时间越少。

2 B树的性质

• 定义任意非叶子节点最多只有M个儿子；且M>2；

• 根节点的儿子数为[2, M]；

• 除根节点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

• 每个节点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；

• 非叶子节点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

• 非叶子节点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

• 非叶子节点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

• 所有叶子节点位于同一层；

这里只是一个简单的B树，在实际中B树节点中关键字很多的。上面的图中比如35节点，35代表一个key(索引)，而小黑块代表的是这个key所指向的内容在内存中实际的存储位置，是一个指针。

3 B+树

B+树是应文件系统所需而产生的一种B树的变形树（文件的目录一级一级索引，只有最底层的叶子节点(文件)保存数据），非叶子节点只保存索引，不保存实际的数据，数据都保存在叶子节点中。这不就是文件系统文件的查找吗？我们就举个文件查找的例子：有3个文件夹，a，b，c，a包含b，b包含c，一个文件yang.c。 a，b，c就是索引(存储在非叶子节点)， a，b，c只是要找到的yang.c的key，而实际的数据yang.c存储在叶子节点上。 所有的非叶子节点都可以看成索引部分。

4 B+树的性质

下面提到的都是和B树不相同的性质：

• 非叶子节点的子树指针与关键字个数相同；

• 非叶子节点的子树指针p[i]，指向关键字值属于[k[i],k[i+1]]的子树。(B树是开区间,也就是说B树不允许关键字重复，B+树允许重复)；

• 为所有叶子节点增加一个链指针。

• 所有关键字都在叶子节点出现(稠密索引)，且链表中的关键字恰好是有序的；

• 非叶子节点相当于是叶子节点的索引(稀疏索引)，叶子节点相当于是存储(关键字)数据的数据层；

• 更适合于文件系统； 看下图:

非叶子节点(比如5,28,65)只是一个key(索引)，实际的数据存在叶子节点上(5,8,9)才是真正的数据或指向真实数据的指针。

5 应用　　

B和B+树主要用在文件系统以及数据库做索引，比如Mysql。

6 B/B+树性能分析　

• n个节点的平衡二叉树的高度为H(即logn)，而n个节点的B/B+树的高度为logt((n+1)/2)+1; 　　

• 若要作为内存中的查找表，B树却不一定比平衡二叉树好，尤其当m较大时更是如此.因为查找操作CPU的时间在B-树上是O(mlogtn)=O(lgn(m/lgt))，而m/lgt>1；所以m较大时O(mlogtn)比平衡二叉树的操作时间大得多. 因此在内存中使用B树必须取较小的m.（通常取最小值m=3，此时B-树中每个内部结点可以有2或3个孩子，这种3阶的B-树称为2-3树）。

为什么说B+树比B树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据索引？

• B+树的内部节点并没有指向关键字具体信息的指针，因此其内部节点相对B树更小，如果把所有同一内部节点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多，一次性读入内存的需要查找的关键字也就越多，相对IO读写次数就降低了。

• 由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

数据库索引采用B+树而不采用B树的主要原因是：B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历，而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

7 B树和B+树的区别

 

如图所示，区别有以下两点：

• B+树中只有叶子节点会带有指向记录的指针（ROWID），而B树则所有节点都带有，在内部节点出现的索引项不会再出现在叶子节点中。

• B+树中所有叶子节点都是通过指针连接在一起，而B树不会。

 

B+树的优点：

• 非叶子节点不会带上ROWID，这样，一个块中可以容纳更多的索引项，一是可以降低树的高度。二是一个内部节点可以定位更多的叶子节点。

• 叶子节点之间通过指针来连接，范围扫描将十分简单，而对于B树来说，则需要在叶子节点和内部节点不停的往返移动。

 

B树的优点：对于在内部节点的数据，可直接得到，不必根据叶子节点来定位。

参考文献：

https://blog.csdn.net/whoamiyang/article/details/51926985

https://www.geeksforgeeks.org/binary-tree-data-structure/

https://stackoverflow.com/questions/265809/what-is-an-internal-node-in-a-binary-search-tree