暑期数据结构 时间复杂度

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时间复杂度的定义：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。

但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式
就是算出了该算法的时间复杂度。

我们直接上几道例题去感受一下

void Function(int n) {
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * n; ++k)
	{
		++count;
}
	int m = 10;
	while (m--)
	{
		count++;
	}
}

我们先看看这个函数function执行的基本操作次数是一个和n有关的函数

很明显这个函数是f(n)=n*n+2*n+10

但是实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精度的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用O的渐进表示法

大O的渐进表示法
大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
O(N2)
·N=10 F(N)=100
·N=100 F(N)=10000
·N=1000 F(N)=1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

比如说如果函数是F(N)=N+4,那么当N无限大的时候，对F(N）产生主要影响的是N

因此此时O(N)的值是N

比如说如果函数是F(N)=N*N+N+4,那么当N无限大的时候，对F(N）产生主要影响的是N*N

因此此时O(N)的值是N*N

但是有种情况下需要注意

log 2 n 这种对数计算机很难打出来

因此有且仅有在表示时间复杂度是log 2 N可以直接写成logN（仅仅限于以二为底）

最后留给大家一个题目 其实本质上是一个数学题

long long Fib(int N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
 
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

思考一下，这个函数执行的基本操作次数是一个和n有关的函数

这个函数表达式是啥

提示：这个题本质上是一个斐波那契数列的题目