矩形窗函数rect()和辛格函数sinc()是一组傅里叶变换对相关公式证明_rect函数

1.rect()的傅氏变换

 

rect()函数和sinc()函数是一组傅里叶变换对，rect()函数及其傅氏变换频谱图(sinc()函数)的图像可如下所示：

函数表达式为：

求Fourier Transform:

如果以角频率w为自变量，则结果变为Tsinc(wT/2pi)。可以看到求解矩形窗函数的傅氏变换没有太过复杂。

2.sinc()的逆傅氏变换

但是如果反过来求sinc函数的傅氏变换该如何下手，搜遍全网几乎找不到详细的推导步骤，其实我们可以求sinc()函数的逆傅氏变换，只要能求出来是rect()，则能证明它们是一组傅氏变换对。今天在这里给大家分享一种推导方法，过程稍微有些复杂。首先先看两个积分：

在有了这两个公式做基础的情况下，我们就可以开始求sinc函数的逆傅氏变换： 

这里用到四条性质：

1. 偶函数在对称区间上的积分等于它在整个区间的一半上的积分的2倍；
2. 奇函数在对称区间上的积分等于零;
3. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数;
4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

上式中的被积函数的分母1/f可替换为：

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