【深度学习】前向传播和反向传播（四）_例子展示前项传播与反向传播计算过程

写在最前面的话：今天要梳理的知识点是深度学习中的前/反向传播的计算，所需要的知识点涉及高等数学中的导数运算。

在深度学习中，一个神经网络其实就是多个复合函数组成。函数的本质就是将输入x映射到输出y中，即$f(x)=y$，而函数中的系数就是我们通过训练确定下来的，那么如何训练这些函数从而确定参数呢？这就涉及网络中的两个计算：前向传播和反向传播。

前向传播

前向传播（Forward Propagation）的理解较为简单，从输入经过一层层隐层计算得到输出的过程即为前向过程，也称前向传播。举个栗子，假设网络中只有一个神经元，

单个神经元网络中，正向传播是：（公式1）
$$y=W\ast x+B$$
而反向传播则是根据（标签值Y-预测值y），来调整W和B。

反向传播

反向传播（Backward Propagation）则是与前向传播的计算方向相反，它是通过输出值与真实值之间的误差，来更新训练参数，具体来说反向传播是根据损失函数，通过网络反向流动来计算每一层参数的梯度（偏导数），从而更新参数。反向传播解决了神经网络中训练模型时参数的更新问题，所以理解反向传播较为重要！对于上面单个神经元网络的栗子，它的损失函数假设为（标签值Y-预测值y）不考虑正则化问题，即：
$$L=Y-(W\ast x+B)$$
如果我们想要知道参数W和B对y做了多少贡献（即当W和B改变时，y如何变化），分别对（公式1）中W和B求导。可得到W的贡献为x，而B的贡献为1，因此，我们可以得到$△W=\frac{\vartheta L}{\vartheta W}=x$，$△B=\frac{\vartheta L}{\vartheta B}=1$，因此可得更新参数$W^{\prime }=W+△W,B^{\prime }=B+△B$：
最后通过观察W，B与loss之间的关系：

• 如果正比关系，那么需要降低W/B值，来减少损失值loss
• 如果反比关系，那么需要增大W/B值，来减少损失值loss

以上就是简单的单个神经元网络中的反向传播。如果神经网络较为复杂，我们需要用到链式法则：$\frac{\vartheta L}{\vartheta x}=\frac{\vartheta L}{\vartheta y}\frac{\vartheta y}{\vartheta x}$。

太简单的例子相对比较好理解。为了加深上面的理解，我们再举一个多层神经网络，先借用一幅图：

上图显示了多层网络中的L1、L2和L3层，经过L2层的输出为$a_i^{(2)}$，经过L3层后的输出为$h_{W,b}$，其中每一层对应的表达式为：
$$a_1^{(2)}=f(u_{11}^{(1)}{x}_1+u_{12}^{(1)}{x}_2+u_{13}^{(1)}{x}_3+v_1^{(1)})$$
$$a_2^{(2)}=f(u_{21}^{(1)}{x}_1+u_{22}^{(1)}{x}_2+u_{23}^{(1)}{x}_3+v_2^{(1)})$$
$$a_3^{(2)}=f(u_{31}^{(1)}{x}_1+u_{32}^{(1)}{x}_2+u_{33}^{(1)}{x}_3+v_3^{(1)})$$
$$h_{W,b}(x)=f(W_{11}^{(2)}{a}_1^{(2)}+W_{12}^{(2)}{a}_2^{(2)}+W_{13}^{(2)}{a}_3^{(2)}+b_1^{(2)})$$
其中$W_{i,j}$和$u_{i,j}$是相邻两层神经元之间的权重（对应图中的相邻两层之间的每一条连线），为深度学习中训练的参数。为了简化上面表达式，我们将上角标去掉，得到：
$$a_i=f(u_{i1}{x}_1+u_{i2}{x}_2+u_{i3}{x}_3+v_i)=f(U_i{X}_i+V_i)$$
$$h_{W,b}=f(W_{i1}{a}_1+W_{i2}{a}_2+W_{i3}{a}_3+b_i)=f(W_i{a}_i+b_i)$$
通常我们采用误差的平方来衡量损失，因此损失函数为：
$$Error=(h-y)，Cost=(Error{)}^2=(h-y{)}^2$$

根据链式法则，我们可以得到：
$$\frac{\vartheta Cost}{\vartheta W}=\frac{\vartheta C}{\vartheta h}\frac{\vartheta h}{\vartheta W}=2\times (h-y)\cdot a$$
$$\frac{\vartheta Cost}{\vartheta U}=\frac{\vartheta C}{\vartheta h}\frac{\vartheta h}{\vartheta a}\frac{\vartheta a}{\vartheta U}=2\times (h-y)\cdot w\cdot x$$
因此，可以得到参数更新的差值$△W=\frac{\vartheta Cost}{\vartheta W}$，$△U=\frac{\vartheta Cost}{\vartheta U}$。

总结

本文简单梳理了前向传播和反向传播，以及相关计算。梳理得有点简单，往后想到再继续补充吧~

参考文章：
https://www.cnblogs.com/cation/p/11664741.html
https://blog.csdn.net/qq_16137569/article/details/81449209
https://www.zhihu.com/question/27239198?rf=24827633