高等代数学习笔记_at高代

参考教材：丘维声 高等代数（上册）
另外这里是我下载pdf版的链接：万千合集站

本篇博客主要是对丘维声老师的《高等代数（上册）》里面提到的各个定理、命题和推论的一个总结和摘抄，于2019/8/15完成

第一章 线性方程组的解法

1.1 线性方程组的解法

1.线性方程组：左边是各未知数的一次齐次式，右端是常数，这样的方程组我们称为线性方程组。每个未知量前面的数称为系数，右端的项称为常数项。

2.解线性方程组时需要研究的几个问题：

1）方程组是否一定有解？有解时，有多少个解？

2）如何求解？

3）有解时，是否每个解都符合实际问题的需要？

4）不止一个解时，这些解之间有什么关系？

3.线性方程组的初等变换：

1）把一个方程的倍数加到另一个方程上

2）两个方程互换位置

3）用一个非零数乘一个方程

4.阶梯形方程组：
x1+x2+x3=3
x1+ x2-x3=1
x1+xx2x3=4
简化阶梯形方程组：
x1x1+xx2=1
x1x2 x1+ =2
x1+xx2x3=3
(注意，上面这两个方程组彼此之间没有任何关系，都是我瞎写的)

5.经过一系列初等变换变成的简化阶梯形方程组与原线性方程组同解

6.增广矩阵：对于一个线性方程组只写出它的系数和常数项，并把他们按原次序排成一张表，这张表称为该方程组的增广矩阵
系数矩阵：只列出方程组的系数所组成的表

7.对矩阵A来说，它的（i，j）元记作A（i；j）；如果A的(i，j)元为a_ij，那么可以记作A=（a_ij）。s*m的零矩阵可以记作0_s*m。

8.m行m列的方阵我们也称为m级矩阵

9.矩阵的初等行变换：
1）把一行的倍数加到另一行上
2）互换两行位置
3）用某一非零常数乘某一行

10.阶梯形矩阵：

定义：
1）元素全为0的行（称为零行）在下方（如果有零行的话）
2）元素不全为0的行（非零行），从左边数起第一个不为0的元素，它们的列指标随着行指标递增而严格增大

11.简化行阶梯形矩阵：（简化版阶梯矩阵）
1）它是阶梯矩阵
2）每个非零行的主元都是1
3）每个主元所在列其余元素都是0
（阶梯矩阵每行第一个不为零的元素即是该行的主元）

12.定理1：任何一个矩阵都能经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵，并且能进一步用初等行变换化成简化行阶梯形矩阵

13.推论1：任何一个矩阵都能通过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵

14.有时候我们会得到类似这样的解：
x1=x2+2
x3=-1
这个表达式称为原线性方程组的一般解，其中以主元为系数的未知量x1，x3称为主变量，其余未知量x2称为自由未知量。一般解就是用含有自由未知量的式子表示主变量。我们在一般解中需要把含自由未知量的项移到等号右边

15.如果一个线性方程组有解，我们称它为相容的，否则称为不相容的

1.2 线性方程组的解的情况及其判别准则

16.定理2：系数和常数项为有理数（或实数、复数）的n元线性方程组的解的情况只有三种：无解，有唯一解，有无穷多解。把n元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯形方程组出现0=d（d是非0数）这种方程，那么原方程组无解；否则，无解。当有解时，如果阶梯形矩阵的非零行数目r等于未知量数目n，那么有唯一解；如果r<n，则有无穷多解。

17.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组称为齐次线性方程组。（0，0，…，0）是齐次线性方程组的一个解，我们称之为零解；其余的解（如果有）称为非零解。

18.推论2：n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是，它的系数矩阵经过初等行变换后化成的阶梯形矩阵中，非零行的数目r<n

19.推论3：n元齐次线性方程组如果方程的数目小于未知量的数目，那么它一定有非零解

1.3数域

20.数域的定义复数集的一个子集K如果满足：
1）0，1在K内
2）对于任意K内的元素a和b，他俩加减乘得到的值仍位于K内，且在除数不为0的前提下作除运算时，得到的数也位于K内
那么我们称K为一个数域

21.有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域；但是整数集Z不是数域，因为Z对除法不封闭。

22.有理数域是最小的数域，任一数域都包含有理数域；由定义可知，复数域是最大的数域。

23.有理数：在数学上可以被定义为两个整数比的数（a/b，b!=0）称为有理数

第二章 行列式

范德蒙行列式的特点：
（1）第一行为a1,a2,…,an的零次方
（2）第二行为a1,a2,…,an的一次方
…
（i）第二行为a1,a2,…,an的i-1次方
…
（n）第n行为a1,a2,…,an的n-1次方

1.命题1：两个方程的二元一次方程组有唯一解的充要条件是：它的系数矩阵A的行列式|A|！=0（行列式也可记为det A）

2.1 n元排列

2.n元排列：n个不同的正整数的一个全排列称为一个n元排列
（PS：全排列的定义：从n个元素中取出m个元素进行排列，当n=m时这个排列被称为全排列）

3.对于给定的n个不同正整数，n元排列的总数是n!

4.逆序数：一个排列中构成逆序对的对数称为这个排列的逆序数

5.奇排列：逆序数为奇数的排列为奇排列
偶排列：逆序数为偶数的为偶排列

6.对换：比如，把排列2341中的3和1互换位置，其余位置的数字不变，便得到新排列2143.像这样的变换称为一个对换，记作（3，1）

7.定理1： 一次对换改变n元排列的奇偶性

8.定理2： 任一n元排列与排列1 2 3 … n可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n元排列有相同的奇偶性

9.在n元排列A：j₁j₂…j_n中构成逆序对的两个数，在B：j_nj_n-1…j₁中会构成顺序对，因此A中的逆序数是B的顺序数

10.在全部n元排列（n>1）中，偶排列和奇排列个占一半

2.2 n阶行列式的定义

11.n阶行列式的完全展开式：

12.n阶行列式和n级矩阵看起来差不多，但是矩阵是一张表，记号是圆括号；行列式（|A|或det A）是形如第11点中的一个表达式，记号是两条竖线。

13.上三角形行列式：主对角线下方元素全部为0的n阶行列式称为上三角行列式

14.上三角形行列式的值为主对角线上元素的乘积

15.给定行指标的n阶行列式完全展开式：

给定列指标的n阶行列式完全展开式：

列指标按自然序排好位置：

2.3 行列式的性质

16.性质1：行列互换，行列式的值不变，即转置后值不变

17.行列式的行与列的地位是对称的，因此行列式关于行的性质对于列也同样成立。后面只涉及行的性质，我们可可以知行把它翻译成列的性质。

18.性质2：行列式一行的公因子可以提出去，即：

由此，我们可以知道，如果行列式中有一行为0（即该行元素全为0），那么该行列式的值为0。

19.性质3：行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，其余各行与原来行列式相应各行相同。即：

20.性质4：两行互换，行列式反号，即：

21.性质5：两行相同，行列式的值为0.

22.性质6：两行成比例，行列式的值为0

23.性质7：把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变

24.通过性质1~7，我们得到了这么3个使行列式为0的小结论：
1）有一行/列上元素全为0
2）两行/列相同
3）两行/列成比例

25.A的转置矩阵可以记成A’，A^T，A^t.

2.4 行列式按行/列展开

26.定义1：n阶行列式|A|中，划去第i行和第j列，剩下的元素按原次序组成的n-1阶行列式称为矩阵A的（i,j）的余子式，记作M_ij。令A_ij=(-1)^i+jM_ij,称A_ij为A的（i,j）元的代数余子式。

27.定理1：n阶行列式|A|等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和，即：

这称为n阶行列式按第i行的展开式（按列展开的同理，按列展开的就是定理2，这里就不复写了）

28.定理3：n阶行列式|A|的第i行元素与第k行相应元素的代数余子式的乘积之和为0.即：

其实这个就相当于我们构造一个行列式，然后第i行的元素和第k行的元素一致，然后这时候就有aij=akj了，于是上面这个式子就相当于是计算这个行列式的值。一个行列式里有两个相同的行，根据行列式的性质易知该行列式值为0.


计算行列式时需要注意的几个点
1.从一个行列式等价转换到另一个行列式时，注意不要把元素前面的负号给弄丢了
2.行与行之间进行加减时，注意如果是行A+/-行B的话，那最后发生变化的是行A，行B保持不变
3.a²-2!=a(a-2) 注意注意注意！！！！（也不知道为啥我老是把这俩式子给弄混）

几个规律（我也不知道有没有用哈哈哈）:
1.把所有行/列加到第一行/列上
2.第1行减第2行，第2行减第3行，或者反过来
3.如果有一行是只有首元素和末元素非0，那就按这行/列展开可能会比较方便。

2.5 克莱姆法则

29.定理1：数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解的充要条件是它的系数行列式（即系数矩阵A的行列式|A|）不等于0.

30.如果矩阵A经过初等行变换得到矩阵J那么|J|=l*|A|，其中l是某个非0数。

31.推论1：数域K上n个方程的n元齐次线性方程组只有0解的充要条件是它的系数行列式不为0，从而它有非0解的充要条件是它的系数行列式等于0.


32.定理2：n个方程的n元线性方程组的系数行列式|A|！=0时，它的唯一解是（|B₁|/|A|,|B₂|/|A|,…,|B_n|/|A|），其中|B_i|是行列式|A|中第i列换成该方程组的常数列后得到的行列式。

33.定理1的充分性和定理2合起来称为克莱姆法则

34.对系数带有字母的线性方程组讨论线性方程组的解的情况时，通常按以下4步来走：
1）计算方程组的系数行列式
2）确定方程组有唯一解时字母不能取哪些值（也就是使该行列式非0）
3）把这些禁忌值分情况代入到字母中，把增广矩阵化成阶梯矩阵
4）进一步确定方程组得无穷解或者无解时，这些字母取什么值

2.6 行列式按k行（列）展开

35.k阶子式：n阶行列式A中任意取k行k列，位于这k行和k列交叉处的k²个元素按原来的排法组成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。
取定A的i1,i2,i3,…,ik(i1<i2<i3<…<ik)行，j1,j2,j3,…,jk(j1<j2<j3<…<jk)列，所得到的k阶子式为：
A（^i1+i2+…+ik_j1+j2+…+jk）
划去这个k阶子式所在的行和列，剩下的元素按照原来的排法组成的(n-k)阶行列式，称为上面这个子式的余子式，它前面乘以(-1)^{(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)}称为该子式的代数余子式。

36.Laplace定理： 在n阶行列式|A|中，取定第i1,i2,…,ik行，则这k行元素所形成的所有k阶子式与它们自己的代数余子式的乘积之和为|A|。

第三章 n维向量空间

3.1 n维向量空间Kⁿ及其子空间

1.我们可以把线性方程组有没有解的问题归结为：常数项列向量β能不能由系数矩阵的列向量组线性标表出

2.线性子空间（简称子空间）：
Kⁿ的一个非空子集U如果满足：

1）α，γ为U中的元素，它们相加后的向量仍是U中的元素
2）α为U中的元素，k为K中的元素，kα是U中的元素
那么我们称U是Kⁿ的一个线性子空间，简称子空间

3.向量组α1，α2，…，αn所有线性组合组成的集合W是Kn的一个子空间，称W为这个向量组生成（或张成）的子空间，记作<α1，α2，…，αn>。
这里补充一下子空间和向量组的关系：
子空间是由向量组的所有线性组合组成的集合，所以这个子空间相当于一个更大的、组内向量满足加法和数乘封闭的向量组，这个更大的向量组的极大线性无关组就是称为它的基（至于原因，可以回忆一下基的定义），向量组的秩就是它的维数。所以，其实极大线性无关组、秩在向量组和子空间中其实是等价的（当然，这只是我方便记忆，我没有经过严格的推导），只不过叫法不同而已，在前者中称为极大线性无关组、秩，在后者中称为基、维数

4.有解$\leftrightarrow$可线性表出$\leftrightarrow$β是列向量组成的向量组生成的子空间中的元素

3.2 线性相关和线性无关的向量组

5.几何空间V：可看作以原点O为起点的所有向量组成的集合V

6.几何空间V中取定三个不共面的向量e1,e2,e3，则V中每个向量a都可以由e1,e2,e3唯一地线性表出：
a=a1e1+a2e2+a3e3

7.线性相关：如果K中有不全为0的数k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0则称Kn中向量组α1，α2，…，αs线性相关（在几何空间中就是，共面的向量线性相关；从方程组的解的角度来看，就是齐次方程组有非零解，也就是系数行列式值为0）

8.线性无关：k1,k2,…,ks全为0（齐次方程组只有0解，也就是系数行列式值不为0）

9.单个向量α线性相关当且仅当α为零向量

10.如果有一个向量组是线性相关的，那么至少有一个向量可以由其余向量线性表出

11.若某一向量组的部分组线性相关，那这个向量组也线性相关；如果某一向量组线性无关，那它的任一部分组也线性无关

12.设某一向量组线性无关，那β可以由该向量组线性表出的充要条件是这个向量组加上β后就变成一个线性相关的向量组了

13.判断一个向量组线性无关最基本最重要的方法是：根据线性无关的向量组的定义去判断

14.齐次方程组解的情况除了求解行列式外，还可以直接通过阶梯形矩阵来判断

15.替换定理： 设α1，α2，…，αs线无，且β=b1α1+b2α2+…+bsαs,若bi！=0，则用β替换αi后得到的向量组仍线无；若bi=0，那么替换就变成线相了

3.3向量组的秩

16.极大线性无关组 ：如果一个向量组的部分组本身是线性无关组的，但是从这个向量组的其余向量中加一个进去就变成线性相关了，那我们称这个部分组为该向量组的极大线性无关组

17.两个向量组等价的充要条件是两个向量组可以相互线性表出。等价关系有三个关系：反身性、对称性、传递性

18.向量组与它的极大线性无关组等价,同一向量组的任意极大线性无关组都等价

19.β可否由某一向量组线性表出等价于β可否由该向量组的一个极大线性无关组线性表出

20.设向量组B（内含r个向量）可以由向量组A（内含s个向量）线性表出，如果r>s，那么向量组B线性相关；如果B是线性无关的，那么r必小于等于s。

21.由第20小点可以推出，等价的两个线性无关组所含向量数量相同，以及同一向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个数一致。

22.秩：向量组α1，α2，…，αs的极大线性无关组所含向量个数，我们称为秩，记作rank{α1，α2，…，αs}。

23.一个向量组线性无关的充要条件是它的向量个数等于它的秩。

24.等价的向量组有相等的秩

25.若组I可由组II线性表出，那么rank(I)<=rank(II)

3.4向量空间Kn及其子空间的基与维数

*）补充1：向量组<=>极大无关组<=>秩 向量空间<=>基<=>维数

*) 补充2：向量组不一定是向量空间，向量空间一定是向量组。因为向量空间就是满足加法封闭和乘法封闭的非空向量组。
向量空间的定义如下：

26.基的定义： U是Kn的一个子空间，若α1，α2，…，αn是U中的元素并满足以下条件：
1）它们线性无关
2）U中每一向量都可以由它们线性表出
那么我们称α1，α2，…，αn是U的一个基。

27.定理1：Kn任一非零子空间都有一个基

28.Kn的非零子空间U的任意两个基所含向量个数相等。

29.维数的定义：一个基所含向量个数称为U的维数，记为dim_KU，或dimU

30.零子空间的维数记为0

31.数域K上s*n矩阵A的列向量组α1，α2，…，αn生成的子空间称为A的列空间；A的行向量生成的子空间称为A的行空间，它们的维数是一样的。

32.关于维数的5个命题：（记子空间U的维数为r）

1）U中任意r+1个向量都线性相关
2）U中任意r个线性无关的向量都是U的一个基
3）若U中任一向量均可由α1，α2，…，αr线性表出，那么α1，α2，…，αr是U的一个基
4）设U和W都是K的非0子空间，若U是W的子集，那么dimU<=dimW
5）设U和W都是K的非0子空间，且U是W的子集，若dimU==dimW，则U=W

33.维数和秩的关系：向量组α1，α2，…，αs的一个极大线无是这个向量组生成的子空间<α1，α2，…，αs>,且有dim<α1，α2，…，αs>==rank{α1，α2，…，αs}

3.5~3.7，2019/8/2

3.5矩阵的秩

34.列秩： 矩阵A的列向量组的秩称为A的列秩，列秩等于A的列空间的维数；
行秩： 矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，行秩等于A的行空间的维数

35.定理1：阶梯形矩阵J的行秩与列秩相等，它们都等于J的非零行的个数；并且J的主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。

36.定理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

37.定理3：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。即：
1）设矩阵C经过初等行变换变成矩阵D，则C的列向量组线性相关当且仅当D的列向量组线性相关
2）设矩阵A经过初等行变换变成矩阵B，并设B的第j1,j2，…，jr列构成B的列向量组的一个极大线性无关组，则A的第j1,j2，…，jr列构成A的列向量组的一个极大线性无关组，从而A的列秩等于B的列秩。

38.定理4：任一矩阵A的行秩等于它的列秩

39.定义1：矩阵A的行秩与列秩统称为A的秩，记作rank（A）

40.推论1：设矩阵A经过初等行变换变成阶梯形矩阵J，则A的秩等于J的非零行个数。设J的主元所在列是第j1,j2,…,jr列，则A的第j1,j2,…,jr列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。

41.推论2：矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩

42.定理5：任一非0矩阵的秩等于它的不为0的子式的最高阶数
（矩阵的子式：在矩阵 中，任取k行和k列 ，位于这些行和列的交点上的 个元素原来的次序所组成的k阶方阵的行列式，叫做A的一个k阶子式）

43.推论3：设s*n矩阵A的秩为r，则A的不等于0的r阶子式所在的列/行构成A的列/行向量组的一个极大线性无关组。

44.满秩矩阵： 一个n级矩阵A的秩如果等于它的级数n，那么我们称A为满秩矩阵。

45.推论4：n级矩阵A满秩的充要条件是|A|!=0

46.一般地，rank((A,B))<=rank(A)+rank(B)（（A，B）的定义参考书本的115页例7）

3.6 线性方程组有解的充分必要条件

47.定理1：（线性方程组有解判别定理）数域K上线性方程组有解的充分必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等

48.定理2：数域K上n元线性方程组有解时，若它的系数矩阵A的秩等于n，那么方程组有唯一解；若A的秩小于n，那么方程组有无穷多解。
定理2应用到齐次方程组上便有：数域K上n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩小于n.

49.对矩阵进行初等行变换时如果需要对某一行提倍数，需要讨论这个倍数是否为0；如果需要对某一行乘以某一倍数，需要讨论该倍数是否为0.所以进行初等行变换时，尽量不要用未知数乘以某一行/列。

50.推论1： 线性方程组的增广矩阵的秩要么等于方程组的系数矩阵的秩，要么等于系数矩阵的秩+1.

3.7 齐次线性方程组的解集的结构

51.某一个齐次线性方程组的解集W是Kn的一个子空间，称它为该方程组的解空间

52.如果n元齐次方程组的系数矩阵A的秩等于n，那么它的解空间为零子空间

53.定义1：n元齐次线性方程组有非零解时，如果它的有限多个解μ1，μ2，…，μt满足：（这里的解指的都是解向量）
1）它们线性无关
2）该方程组的每一个解都可以由μ1，μ2，…，μt线性表出。
那么我们称μ1，μ2，…，μt为该齐次线性方程组的一个基础解系。

54.定理1：数域K上n元齐次线性方程组的解空间W的维数为dimW=n-rank(A).其中A是方程组的系数矩阵。 所以当n元齐次线性方程组有非零解时，它的每个基础解系都含有n-rank(A)个向量。

3.8 非齐次线性方程组的解集结构

记数域K上n元非齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β为（1）式，记x1α1+x2α2+…+xnαn=0为（2）式，我们称（2）为（1）的导出组

55.定理1 非齐次线性方程组的解的结构：若数域K上n元非齐次线性方程组(1)有解，那么它的解集U={γ0+η|η 是W中的元素}。 其中γ0是非齐次线性方程组(1)的一个解，我们称为特解；W是（2）的解集。简单来说，就是非齐次的特解+齐次的通解

56.我们把集合{γ0+η|η 是W中的元素}记为γ0+W，称它为一个W型的线性流型（或子空间W的一个陪集 ），称dimW 为线性流型γ0+W的维数。

57.注意，U不是子空间，因为U对数乘和加法都不封闭

58.推论1：若（1）有解，那它的解唯一的充要条件是它的导出组（2）只有零解。

第4章 矩阵的运算

4.1 矩阵的运算

1.两个矩阵相等：两个矩阵的行数和列数都相等，且每个位置上的元素都相等

2.需要特别注意的是如果两个矩阵A和B相乘得0，不能推出A=0或者B=0

3.零因子： 对于矩阵A，如果存在一个矩阵B！=0使得AB=0，则称A是一个左零因子；如果存在一个矩阵C！=0使得CA=0，则称A是一个右零因子。我们把左右零因子统称为零因子。显然，零矩阵是零因子，称它是平凡的零因子。

4.矩阵的乘法适合左右分配律+结合律,不适合消去律

5.n级单位矩阵：主对角线上元素都是1，其余元素都是0的n级方阵称为n级单位矩阵，记作I_n ,或简记为I。 特别地，如果A是n级矩阵，则IA=AI=A。显然，单位矩阵

6.矩阵的乘法和数乘满足：k(AB)=(kA)B=A(kB)

7.数量矩阵：主对角线上元素是同一个数k，其余元素全是0的n级矩阵称为数量矩阵，它可以记成kI。

8.可交换：若AB=BA，那么我们称A与B可交换。显然，数量矩阵与任一同级矩阵可交换。

9.n级矩阵A的非负整数次幂：A^m定义为连续m个A矩阵相乘；特别地，记A⁰为I。另外，容易看出，A^kA^l=A^k+l.

10.由于矩阵的乘法不满足交换律，因此一般来说，（AB）^k！=A^kB^k.

11.矩阵的加法、数乘、矩阵乘法与矩阵的转置的关系如下：
1）（A+B）’=A’+B’
2）（kA）’=kA’
3）（AB）’=B’A’

12.换位元素：定义运算：[A,B]=AB-BA，我们称[A,B]是A与B的换位元素。

13.求解和类似如下形状的矩阵
3 1 0
0 3 1
0 0 3
有关的题目，我们可以把原矩阵分解成kI+B的形式，因为I比较有不变性，所以这时候就可以着手于B，把原问题套到B上来解决，那么原问题也可以比较方便地解决了。

4.2特殊矩阵

14.对角矩阵： 主对角线以外的元素全为0的方阵称为对角矩阵，简记为diag{d1,d2,…,dn}。

15.命题1： 用一个对角矩阵左/右乘一个矩阵A，就相当于用对角矩阵的主对角元分别乘A相应的行/列。

16.特别地，两个对角矩阵的乘积还是n级对角矩阵，并且是把相应的对角元相乘。

17.基本矩阵： 只有一个元素是1，其余元素全为0的矩阵称为基本矩阵。（i,j）元为1的基本矩阵记为E_ij。

18.用E_ij左乘一个矩阵A（即E_ijA），就相当于把A的第j行搬到第i行的位置，而乘积矩阵的其余行全为0；用E_ij右乘一个矩阵A（即AE_ij），就相当于把A的第i列搬到第j列的位置，而乘积矩阵的其余列全为0。

19.由命题2可得：
i）E_ijE_kl=
1）E_il，if k==j（因为如果k==j，那么右乘子的第k行第l列上的元素为1，移动后相当于变成了一个第i行，第l列为1的基本矩阵，所以得到的结果是E_il）
2）0，if k!=j（因为如果k!=j，那么右乘子的第j行就全为0,移动后还是0）

ii）E_ijAE_kl=a_jkE_il（这里a相当于大小，E相当于指出a_jk这个元素位于矩阵的第i行第l列）

20.上（下）三角矩阵：主对角线下（上）方的元素全为0的方阵称为上（下）三角矩阵。显然，A=（aij）为上三角矩阵的充要条件是aij=0，当i>j

21.命题3：两个n级上三角矩阵A与B的乘积仍为上三角矩阵，并且AB的主对角元等于A与B的相应主对角元的乘积。（下三角矩阵的同理）

22.初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等行（列）变化得到的矩阵称为初等矩阵。

23.定理1：用初等矩阵左（右）乘一个矩阵A，就相当于A作了一次相应的初等行（列）变换。

24.对称矩阵：一个矩阵A如果满足A’=A，那么称A是对称矩阵

25.命题4：设A，B都是n级对称矩阵，则A+B，kA (k是K中的数)都是对称矩阵

26.命题5：设A、B都是n级对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A与B可交换

27.斜对称矩阵：一个矩阵A如果满足A’=-A，那么称A是斜对称矩阵。 数域K上的n级矩阵A是斜对称矩阵当且仅当aij==aji,aii==0.另外，容易证明，若A，B都是数域K上n级斜对称矩阵，则A+B，kA也都是斜对称矩阵。

28.命题6：数域K上奇数级斜对称矩阵的行列式等于0

29.推论1：如果D是主对角元两两不等的对角矩阵，那么与D可交换的矩阵一定是对角矩阵

30.推论2：与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是对角矩阵（这个推论相当重要，需要记住）

31.推论3：数域K上任一n级矩阵A都可以表示成一个对称矩阵与一个斜对称矩阵之和，且表示方法唯一：A=1/2（A+A‘）+1/2（A-A’）

32.换位元素：定义运算：[A,B]=AB-BA，我们称[A,B]是A与B的换位元素。易证，如果A，B均为斜对称矩阵，那么它们的换位元素也是斜对称矩阵。因此所有n级斜对称矩阵组成的集合Ω对于换位运算封闭，并且Ω对于加法和数乘封闭。

33.推论4：设A是数域K上s*n矩阵，且A的秩为r，则A的行向量组的一个极大线性无关组与A的列向量组的一个极大线性无关组交叉位置的元素按原来的排法组成的r阶子式不等于0（需要利用极大线性无关组及其与缩短组的关系、线性无关向量组成的行列式不为0）

34.推论5：斜对称矩阵的秩是偶数（需要利用推论4来推）

35.推论6：矩阵的2型初等行变化可以通过一些1型和2型初等行变换实现

36.幂零矩阵：如果存在正整数l，使得A^l=0，则称A为幂零矩阵；其中我们称使A^l=0成立的最小正整数l为A的幂零指数

4.3 矩阵乘积的秩与行列式

37.定理1：对于矩阵A，B，有rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}（把A用列向量组表示即可）（另外，在第199页还证明了rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n,其中A为S$\times$n,B为n$\times$m）

38.定理2：设A,B均为n级方阵，则有|AB|=|A||B|

39.Binet-Cauchy公式：设A=（aij）_s*n,B=（bij）_n*s，则有以下结论成立：
1）如果s>n，那么|AB|=0
2）如果s<=n,那么|AB|等于A的所有s阶子式与B的相应s阶子式的乘积之和

40.命题1：设A=（aij）_s*n,B=（bij）_n*s，设正整数r<=s，则有以下结论成立：
1）若r>n，那么AB所有r阶子式都等于0
2）若r<=n，那么AB的任一r阶子式为：
设AB的某一r阶子式的行指标为i1,i2,…,ir,列指标为j1,j2,j3,…,jr，则该子式的值为A中行指标为i1,i2,…,ir的所有r阶子式与B中列指标为j1,j2,j3,…,jr，行指标为A中r阶子式列指标的r阶子式的乘积之和

41.推论1：rank（A+B）<=rank(A)+rank(B)

42.推论2：若k!=0,则rank(kA)=rank(A)

43.推论3：设A是实数域上的s*n矩阵，则rank(A’A)=rank(AA’)=rank(A)

44.主子式：矩阵A的一个子式如果行指标与列指标相同，那么称它为A的一个主子式

4.4 可逆矩阵

45.定义1 可逆矩阵：对于数域K上的矩阵A，如果存在数域K上的矩阵B，使得AB=BA=I（1），则称A是可逆矩阵

46.如果A是可逆矩阵，那么适合（1）式的矩阵B是唯一的

47.由定义1看出，A与B可交换，因此可逆矩阵一定是方阵

48.定义2 逆矩阵：若A是可逆矩阵，那么适合（1）式的矩阵B称为A的逆矩阵，记为A^-1

49.A的伴随矩阵为
A₁₁ A₂₁ … A_n1
A₁₂ A₂₂ …A_n2
… …
A_1n A_2n …A_nn
记为A*
伴随矩阵的定义:把A中的元素替换为该元素的代数余子式，然后装置

50.定理1：n级矩阵A可逆的充要条件是|A|！=0。当A可逆时，A^-1=1/|A| · A*

51.特别地，如果A=
a b
c d
则A^-1=
d/(ad-bc) aa -b/(ad-bc)
-c/(ad-bc) aa a/(ad-bc)

52.由定理1还可以推出n级矩阵A可逆的其它一些充要条件：
1）A满秩
2）A的行/列向量组线性无关
3）A的行/列向量组为Kn的一个基
4）A的行/列空间为Kn

53.初等矩阵都可逆

54.可逆矩阵有以下7个性质：
1）单位矩阵可逆，且I^-1=I
2）如果A可逆，那么A^-1也可逆，且（A^-1）^-1=A
3）若n级矩阵A、B都可逆，那么（AB）^-1=B^-1A^-1
性质3可以推广为：如果n级矩阵A1，A2，…，As均可逆，那么A1A2…As也可逆，且（A1A2…As）^-1=As^-1…A2^-1A1^-1
4）如果A可逆，那么A’也可逆，且有（A’）^-1=（A^-1）’
5）可逆矩阵经过初等行变换成的简化行阶梯矩阵一定是单位矩阵
6）矩阵A可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积
7）用一个可逆矩阵左（右）乘一个矩阵A，不改变A的秩（利用性质6可推）

55.推论1（对应P184 例3）：若数域K上n级矩阵A满足：bmAm+bm-1Am-1+…+b1A+b0I=0,其中b0!=0，则A可逆，且它的逆矩阵为-（bmAm-1+bm-1Am-2+…+b1I）/b0

56.推论2（对应P184 例4）：可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵

57.推论3（P184 例5）：可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵

58.推论4（P190 例12 ）：设A是数域K上的n级矩阵，则对任意正整数，有rank(A^n+k)=rank(Aⁿ)

59.推论5（P191 例13）：任何方阵都可以表示成一些下三角矩阵与上三角矩阵的乘积

4.5 矩阵的分块

60.子矩阵：由矩阵A的若干行、若干列的交叉位置按原来的顺序排成的矩阵称为A的一个子矩阵

61.矩阵的分块：把一个矩阵A的行分成若干组，列也分成若干组，从而A被分成若干个子矩阵，把A看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块

62.分块矩阵：知识点61中由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵

63.分块矩阵相乘时，与普通矩阵的乘法类似；但是要注意，左矩阵的子矩阵应写在左边，右矩阵的子矩阵应该写在右边，不能颠倒顺序

64.命题1：设A是s*n矩阵，B是n*m矩阵，B的列向量组为β1，β2，…，βm，则AB=A（β1，β2，…，βm）=（Aβ1，Aβ2，…，Aβm）

65.推论1：设A_s*n!=0,B_n*m的列向量组为β1，β2，…，βm,则AB=0的充要条件是β1，β2，…，βm均为齐次线性方程组AX=0的解

66.推论2：设A_s*n!=0,B_n*m的列向量组为β1，β2，…，βm,C_s*m的列向量组是δ1，δ2，…，δm，则AB=C的充要条件是βj为线性方程组AX=δj的一个解

67.分块矩阵的初等行变换：
1）把一个块行的左P倍（P是矩阵，P在左边）加到另一个块行上，例如：
A1 A2
A3 A4
变换后变成：
A1 A2
PA1+A3 PA2+A4
2）互换两个块行的位置
3）用一个可逆矩阵左乘某一块行（为的是可以把所得到的分块矩阵变回到原来的分块矩阵）

68.分块矩阵的初等列变换：
1）把一个块列的右P倍（P是矩阵，P在右边）加到另一个块列上，例如：
A1 A2
A3 A4
变换后变成：
A1 A1P+A2
A3 A3P+A4
2）互换两个块列的位置
3）用一个可逆矩阵右乘某一块列（为的是可以把所得到的分块矩阵变回到原来的分块矩阵）
（另外，分块矩阵的初等行列变换不改变矩阵的秩）

69.分块初等矩阵：把单位矩阵分块得到的矩阵经过一次分块矩阵的初等行/列变换得到的矩阵称为分块初等矩阵

70.分块对角矩阵：主对角线上所有子矩阵都是方阵，其余子矩阵全为0的分块矩阵称为分块对角矩阵，可简记成diag{A1,A2,…,As}

71.分块上三角矩阵：主对角线上的所有子矩阵都是方阵，而位于主对角线下方所有子矩阵都为0的分块矩阵称为分块上三角矩阵

72.特别地，分块上（下）三角矩阵的行列式的值都是主对角线上所有子矩阵行列式的值的乘积

73.命题2：A为s*n,B 为n*s，则下面这个矩阵
I_n B
A I_s
的值为|I_n-BA|,也等于|I_s-AB|,需要用到初等分块矩阵来证明

74.命题3：
设A=
( A 1 A 3 0 A 2 )

$$\begin{pmatrix} A1&A3\\ 0&A2\end{pmatrix}$$ (A10​A3A2​)
其中A1，A2，A3都是方阵，则A可逆当且仅当A1，A2都可逆，此时
A^-1=
$\left(\begin{array}{cc}A1的逆矩阵& -A1的逆矩阵\ast A3\ast A2的逆矩阵\\ 0& A2的逆矩阵\end{array}\right)$

75.推论1（P199例1）：设A，B分别是s*n,n*m矩阵，则若AB=0，rank(A)+rank(B)<=n

76.Sylvester不等式：设A，B分别是s*n,n*m矩阵,则rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n

77.幂等矩阵：若数域K上n级矩阵A满足A²=A，那么称A是幂等矩阵。

78.推论2（P199例3）：n级矩阵A是幂等矩阵当且仅当rank(A)+rank(I-A)=n

79.对任意实数域上的矩阵A来说，有rank(A’A)=rank(A)

4.6 正交矩阵·欧几里得空间Rn

80.定义1 正交矩阵：实数域上的n级矩阵A如果满足AA‘=I，则称A是正交矩阵

81.命题1：实数域上n级矩阵A是正交矩阵《=》AA’=I《=》A可逆，且A^-1=A’《=》A’A=I

82.正交矩阵有以下4个特征：

1）I正交

2）若 A和B均为正交矩阵，那么AB也是正交矩阵

３）若A正交，那么它的逆矩阵为它的对称矩阵

４）若A正交，则｜A|＝１或者－１

83.命题2：设实数域上n级矩阵A的行向量组为γ_i，行向量组为α_i，那么
1）A为正交矩阵当且仅当A的行向量组满足
γ_iγ_j’=1 iff i==j
γ_iγ_j’=0 iff i!=j

2）A为正交矩阵当且仅当A的列向量组满足
α_i’α_j=1 iff i==j
α_i’α_j=0 iff i!=j

84.δ_ij的取值是当i==j时，取1；当i!=j时取0

85.**定义2 内积：在Rⁿ中，任给α=（a1,a2,…,an）,β=（b1,b2,…,bn），规定（α，β）=a1b1+a2b2+…anbn。这个二元实值函数称为Rⁿ的一个内积（通常称为标准内积）。**另外，内积还可以写成αβ‘。

86.内积有以下性质：

1）（α，β）=（β，α）（对称性）

2）（α+γ，β）=（α，β）+（γ，β）

3）（kα，β）=（α，kβ）

4）（α，α）>=0，等号成立当且仅当α=0（正定性）

86.欧几里得空间：欧氏空间是实数域上定义了内积的线性空间V，而内积满足交换律（对称性）、数乘、（可加性）结合律、正定性的一个二元实函数
详细定义：

87.在欧几里得空间中，向量α的长度|α|规定为(α，α)的开根号。

88.长度为1的向量称为单位向量。显然，向量α是单位向量的充要条件是（α，α）=1.

89.对于α！=0，α/|α|一定为单位向量

90.单位化：把非0向量α乘以1/|α|称为把α单位化

91.两个向量正交：如果（α，β）=0，那么称α与β是正交的，记作α$\perp$β

92.显然，零向量与任何向量正交

93.正交向量组：在欧几里得空间中，由非0向量组成的向量组如果其中每两个不同的向量都正交，那么称它们为正交向量组。另外，仅由1个非零向量组成的向量组也是正交向量组；如果正交向量组中每个向量都是单位向量，那么称它为正交单位向量组.

94.命题3：欧几里得空间中，正交向量组一定是线性无关的

95.正交基：n个向量组成的正交向量组是Rⁿ的一组基。n个单位向量组成的正交向量组成的正交基称为标准正交基。

96.命题4：实数域上的n级矩阵A是正交矩阵的充要条件是：A的行/列向量组是欧几里得空间Rⁿ的一个标准正交基

97.定理1 （求解线性无关组的标准正交基）：

这种构造正交向量组的方法称为施密特正交化过程。那么，构造标准正交基/正交矩阵的过程为：对原向量组α进行施密特正交化得到向量组α’，然后对α‘进行单位化得到α’‘，则α’‘即为所求

98.推论1（P223 例9）：设A是实数域上的n级矩阵，有：
1）若|A|=1，且A的每一个元素等于它自己的代数余子式，那么A是正交矩阵
2）若|A|=-1，且A的每一个元素等于它自己的代数余子式乘以-1，那么A是正交矩阵

4.7 Kn到Ks的线性映射

99.设f是集合S到集合S’的一个映射，则把S叫做映射f的定义域，把S’叫做f的陪域。S的所有元素在f下的象组成的集合叫做f的值域或f的象，记作f(S)或Imf。容易看出，陪域是值域的超集，值域是陪域的子集。

100.满射：陪域=值域

101.映射f与映射g相等，当且仅当定义域相等，陪域相等，对应法则相同，即$\forall$x$\in$S,有f(x)=g(x)

102.集合S到自身的一个映射，通常称为S上的一个变换

103.集合S到数集的一个映射，通常称为S上的一个函数

104.原象集：陪域S’中的元素b在映射f下所有原象组成的集合称为b在f下的原象集，记作f^-1(b)

105.恒等映射：映射f:S$⟶$S 如果把S中每一个元素对应到它自身，即$\forall$x$\in$S，有f(x)=x,那么称f是恒等映射（或S上的恒等变换），记作1_S

106.相继施行映射g和f，得到S到S’'的一个映射，称为f与g的乘积（或合成），记作fg,即(fg)(a)=f(g(a))

107.定理1：映射的乘法适合结合律

108.**定义4 可逆与逆映射：设f:S$⟶$S’，如果存在一个映射g:S’$⟶$S,使得fg=1_S’,gf=1_S，那么称映射f是可逆的，此时称g是f的一个逆映射。**容易证明，如果f是可逆的，那么它的逆映射是唯一的。把f的逆映射记为f^-1，则有ff^-1=1_S’，f^-1f=1_S.
从而当f可逆时，它的逆矩阵也可逆

109.定理2：映射f:S$⟶$S’可逆的充要条件是f是双射

110.证明一个映射f是满射：
方法1：在陪域S’中任取一个元素a’，找出、拼凑出它在定义域S中的一个原象。这个原象有两个个性质，一是它经过f映射后变成了a’，二是它是S中的元素
方法2：证明陪域==定义域
证明一个映射f是单射： 任取定义域S中的两个元素，证明它们的象是一样的

111.证明一个映射是可逆映射：设一个S’$⟶$S的映射g,并且对于a’$\in$S’，a’在f下有原象a。然后分别证明fg,gf是恒等映射即可。

112.定义5 线性映射：数域K上的向量空间Kⁿ到K^s的一个映射$\sigma$如果保持加法和数量乘法，即对$\forall$α,β$\in$Kⁿ，k$\in$K,有σ（α+β）=σ（α）+σ（β），σ（kα）=kσ（α）,那么称σ为Kⁿ到K^s的一个线性映射。

113.设A是数域K上s$\times$n矩阵，令A： Kⁿ$⟶$K^s,α$⟶$Aα，则A是Kⁿ到K^s的一个线性映射，这个线性映射是很有用的

114.有以下两个事实：

复述一遍：113点中定义的线性映射A的值域是矩阵A的列空间

115.定义6 核：设σ是Kⁿ到K^s的一个映射,Kⁿ的一个子集{α$\in$Kⁿ|σ（α）=0}称为映射σ的核，记作Ker σ

116.再来一个事实：

那么容易看出Ker A=W,另外，由114点可知，ImA=<α1，…，αn>，所以由dimW+rank(A)=dimW+dim<α1，…，αn>=n可得dimKer A+dim ImA=n.这说明线性映射A的核的维度越小，那么ImA的维数就越大，使AX=β有解的β组成的子空间就越大，即有更多以A为系数的线性方程组有解

117.推论1：S和S’均为有限集，如果存在从S到S’的双射f，那么|S|=|S’|

118.基数：S和S’是两个集合，如果存在从S到S’的双射f，那么我们称S和S’有相同的基数

第5章 矩阵的相抵与相似

等价关系与集合的划分

1.定义1 二元关系：设S是一个非空集合，我们把S$\times$S(这个乘号指的是笛卡尔积)的一个子集叫做S上的一个二元关系，如果（a,b)$\in$W，那么就称a与b有W关系，如果（a,b)$\notin$W,就称a与b没有W关系。当a与b有W关系时，记作aWb，或a~b 。简单来说，二元关系就是一个集合S，自身形成的二维笛卡儿积的一个子集。

2.等价关系：满足反身性、对称性和传递性的二元关系

3.等价类：

其中a称为该等价类的一个代表

4.定理1：设~是集合S上的一个等价关系，任取a,b$\in$S，则要么$\overline{a}$=$\overline{b}$，要么$\overline{a}$∩$\overline{b}$=空集

5.划分：如果集合S是一些非空子集S_i（i$\in$I,I指标集）的并集，并且其中不相等的子集一定不相交，那么称集合{S_i|i$\in$I}是S的一个划分，记作$\pi$(S)

6.定理2：设~是集合S上的一个等价关系，则所有等价类组成的集合是S的一个划分，记作$\pi$_~(S)

7.商集：首先需要知道，模7同余是整数集Z的一个等价关系，共有7个等价类，它们组成的集合是Z的一个划分{$\overline{0}$,$\overline{1}$,$\overline{2}$,$\overline{3}$,$\overline{4}$,$\overline{5}$,$\overline{6}$}.我们把这个集合称为Z对于模7同余关系的商集，记作Z/（7）

8.集合中的商集：设~是集合S上的一个等价关系，由所有等价类组成的集合称为S对于关系~的商集，记作S/~。注意，商集S/~里的元素是S的子集，不是S的元素。

5.2 矩阵的相抵

9.M_{S$\times$ n}(K):数域K上所有S$\times$n矩阵组成的集合
M_n(K):n==s时的简写形式

10.定义1 相抵：矩阵A如果经过一系列初等行、列变换能变成矩阵B，我们称A和B是相抵的，记为

11.相抵类：在相抵关系下，矩阵A的等价类称为A的相抵类

12.事实1：

13.定理1与相抵标准型：设数域K上s$\times$n矩阵A的秩为r，如果r>0,那么A相抵于下述形式的矩阵：

称这个矩阵为A的相抵标准形，如果r=0，那么A相抵于零矩阵，此时称A的相抵标准形是零矩阵

14.定理2：A和B相抵的充要条件是A和B的秩相等

15.不变量与完全不变量：设~是集合S上的一个等价关系，一种量或一种表达式如果对于同一个等价类里的元素是相等的，那么称这个量或表达式是一个不变量；恰好能完全决定等价类的一组不变量称为完全不变量，比如相抵类中的秩。

16.推论1：

5.3 广义逆矩阵

17.定理1 ：

18.定义1 广义逆矩阵：
设A是数域K上s$\times$n矩阵，矩阵方程AXA=A的每一个解都称为A的一个广义逆矩阵，简称为A的广义逆。用A^-来表示A的任意一个广义逆。从定义1可得出，任意一个n$\times$S矩阵都是0_s$\times$n的广义逆

19.定理2：（非齐次线性方程组的相容性定理）非齐次线性方程组AX=β有解的充分必要条件是β=AA^-β

20.定理3：（非齐次线性方程组的解的结构定理）非齐次线性方程组AX=β有解时，它的通解为X=A^-β

21.定理4：（齐次线性方程组的解的结构定理）数域K上n元齐次线性方程组AX=0的通解为X=（I_n-A^-A）Z,其中A^-是A的任意一个广义逆，Z是Kⁿ中任意列向量

22.推论1： 数域K上n元非齐次线性方程组AX=β有解，则它的通解为X=A^-β+（I_n-A^-A）Z，Z是Kⁿ中任意列向量.

23.定义2：Moore-Penrose广义逆与Penrose方程组：

24.定理5：如果A是复数域上s$\times$n非零矩阵，A的Penrose方程组总是有解，并且它的解唯一。设A＝BC，其中B、C分别是列满秩和行满秩矩阵，则Penrose方程组的唯一解是X＝C＊（CC＊）^-1(B*B)^-1B*

5.4 矩阵的相似

25.定义1 矩阵相似：设A与B都是数域K上n级矩阵，如果存在数域K上一个n级可逆矩阵P,使得P^-1 A P=B，则称A与B是相似的，记作A~B。由定义中的“n级矩阵”可知，研究相似矩阵时我们只研究方阵。

26.容易验证，相似具有反身性、对称性和传递性，从而相似是一个等价关系。在相似关系下，A的等价类称为A的相似类。

27.相似矩阵的4个性质：
1）如果B1=P^-1A1P,B2=P^-1A2P，则
B1+B2=P^-1(A1+A2)P
B1B2=P^-1A1A2P
B1^m=P^-1A1^mP
2）相似矩阵的行列式值相等
3）如果A与B相似，那要么它们都可逆，要么都不可逆；如果可逆，那它们的逆矩阵也相似
4）相似矩阵有相同的秩
5）相似的矩阵有相同的迹
性质2，4，5表明，矩阵在相似关系下有三个不变量：行列式，秩，迹， 简称为相似不变量。

28.定义2 迹：n级矩阵A=（aij）的主对角线上元素的和称为A的迹，记为tr(A)，即tr(A)=a11+a22+…+ann

29.命题1：矩阵的迹有下列性质：
tr(A)+tr(B)=tr(A+B)
tr(kA)=ktr(A)
tr(AB)=tr(BA)

30.可对角化：如果A相似于一个对角矩阵，那么我们称A可对角化（即存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=对角矩阵）

31.定理1：数域K上n级矩阵A可对角化的充要条件是，Kⁿ中有n个线性无关的列向量α1，α2，…，αn，以及K中有n个数λ1，λ2，…，λn（它们之间可能相等）使得Aαi=λiαi，i=1，2，…，n

32.置换矩阵：每行有且仅有一个元素是1，每列也有且仅有一个元素是1，其余元素全为0的n级矩阵称为n级置换矩阵。

5.5 矩阵的特征值和特征向量

33.定义1 特征值和特征向量：A是K上的n级矩阵，如果Kⁿ中有非0列向量α，使得Aα=λ0α，且λ0$\in$K，那么称λ0是A的一个特征值，α为A的属于λ0的特征向量

34.注意，零向量不是A的特征向量

35.定理1：设A是数域K上的n级矩阵，则

36.求解矩阵A的所有特征值和特征向量的步骤如下：
1）计算A的特征多项式|λI-A|
2）判断A的特征多项式是否有零根，如果有零根，则分别求出零根，也就是A的特征值，然后分别把特征值代入（λI-A）X=0中求得基础解系
３）A属于对应特征值的全部特征向量就是λ取该特征值时齐次方程组的解空间中的非０向量
具体的描述为:

37.相似的矩阵还有另外两个不变量：特征多项式和特征值．所以，相似的矩阵一共有５个不变量：行列式、秩、迹、特征多项式和特征值

38.命题1：关于A的特征多项式各项的参数大小

39.定义2 几何重数与代数重数：设λ1是A的一个特征值，把A的属于λ1的特征子空间的维数称为特征值λ1的几何重数；把λ1作为A的特征多项式的根的重数叫做λ1的代数重数。并把代数重数简称为重数
举两个例子，
1)(x-2)³=0,这个方程的根为2，这个根是3重的（因为相当于有3个根，但是3个根的值恰好都一样是2），所以就称2是这个方程的3重根;
2)|λI-A|=(λ-λ1)^rg(λ)，则λ1的代数重数为r
PS.特征子空间：对A的每个特征值λi，方程组(A-λ_iI)X=0的解空间V_λi称为A的属于特征值λi的特征子空间

40.命题2：设λ1是数域K上n级矩阵A的一个特征值，则λ1的几何重数<=它的代数重数（证明在P272）

41.证明λ是矩阵A的特征值：直接证明|λI-A|=0即可

5.6 矩阵可对角化的条件

42.利用特征值和特征向量可以把5.4节的定理1写成

定理1：数域K上的n级矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，此时P=（α1，α2，…，αn），且P^-1AP=diag{λ1,λ2,…,λn}.这个对角矩阵我们称为A的相似标准形

43.定理2：数域K上n级矩阵A有两个特征值λa，λb；α1，α2，…，αr以及β1，β2，…，βs分别是A属于λa，λb的线性无关特征向量，则α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs线性无关

44.定理3：也就是定理2中的两个特征值、两个线性无关特征向量组、以及两个向量组结合成一个大向量组推广到m个，结论仍然成立

45.推论1：n级矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的（由定理2可推）

46.定理4：n级矩阵A可对角化的充要条件是A的特征子空间的维数之和为n

47.推论2：数域K上n级矩阵A若有n个特征值，那么A可对角化

48.** 定理5：数域K上n级矩阵A可对角化的充要条件是A的特征多项式的全部复根都$\in$ K，并且A的每个特征值的几何重数都等于它的代数重数 **

49.定理5告诉我们两个判断A不可对角化的方面：如果有1个特征值不$\in$K ，或者有一个特征值的几何重数小于它的代数重数，那这个矩阵就不可对角化。

5.7 实对称矩阵的对角化

50.实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵

51.定理1：实对称矩阵的特征多项式的每一个复根都是实数，从而它们都是特征值

52.定理2：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的

53.正交相似：如果对于n级实矩阵A、B，存在一个n级正交矩阵T，使得T^-1AT=B，则称A正交相似于B

54.定理3：实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵

55.命题1：n级实矩阵A如果正交相似于对角矩阵，那么A一定是对称矩阵

56.命题2：两个实对称矩阵正交相似$\iff$两个实对称矩阵相似

57.从命题2可看出，只要两个实对称矩阵是相似的，那么它们就是正交相似的

58.要求使实对称矩阵A变成对角矩阵的正交矩阵T，只要在求出使A变成对角化的矩阵P，然后把P通过施密特正交变换+单位化即可得到T

第6章 二次型·矩阵的合同

6.1 二次型及其标准型

1.定义1 n元二次型：数域K上的一个n元二次型是系数在K上的n元二次齐次多项式，一般形式是：

也可以简写成f(x1,x2,…,xn)=${\sum }_{i=1}^n$${\sum }_{j=1}^n$a_ijx_ix_j,其中a_ij=a_ji，1<=i,j<=n，记该简写式为(2)式

2.把（2）式中的系数写成矩阵A：

则称A是二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，它是对称矩阵。显然二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵是唯一的，主对角线上的元素依次是x1²,x2²，…，xn²的系数；（i;j）元是xixj的系数的一半（i!=j）。

3.令X=
{ x 1 x 2 . . . x n } (4) \left\{

$$\begin{matrix} x1 \\ x2 \\ ...\\ xn \end{matrix}$$ \right\} \tag{4} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x1x2...xn​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​(4)
则二次型f(x1,x2,…,xn)可以写成f(x1,x2,…,xn)=X’AX,其中A是二次型f的矩阵

4.为了方便讨论，允许A=0

5.非退化线性替换：令Y =(y1,y2,…,yn)’,设C是数域K上的n级可逆矩阵，则关系式X=CY称为变量x1,x2,…,xn到变量y1,y2,…,yn的一个非退化线性替换

6.定义2 等价的二次型：数域K上的两个n元二次型X‘AX与Y’BY，如果存在一个非退化线性替换X=CY，能够把X‘AX变成Y’BY，其中C‘AC=B，那么称二次型X’AX与Y‘BY等价，记作

7.定义3 合同：数域K上两个n级矩阵A与B，如果存在K上的一个n级可逆矩阵C，使得C’AC=B，那么称A与B合同，记为

８.命题1：数域K上的两个n元二次型X‘AX与Y’BY等价的充要条件是A与B合同

9.n元二次型的等价以及矩阵的合同都是等价关系。在合同关系下，A的等价类称为A的合同类

10.标准型：如果二次型X‘AX等价于一个只含平方项的二次型，那么我们称这个只含平方项的二次型为X’AX的一个标准型

11.合同标准型：如果对称矩阵A合同于一个对角矩阵，那么这个对角矩阵称为A的一个合同标准型

12.命题2：实数域上n元二次型X‘AX有一个标准型为λ1y1²+λ2y2²+…+λnyn²,其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值

13.如果C是正交矩阵，那么称X=CY是正交替换

14.命题2告诉我们，任意n元二次型都可以用配方法化成只含平方项的二次型

15.引理1：设A、B都是数域K上n级矩阵，则A合同于B当且仅当A经过一系列成对初等行、列变换可以变成B。此时对I只做其中的初等列变换即可得到可逆矩阵C，使得C’AC=B

16.定理1：数域K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵

17.定理2：数域K上任一n元二次型都等价于一个只含平方项的二次型

18.利用矩阵的初等行、列变换法求二次型的标准型：

6.2 实二次型的规范形

19.易知，一个二次型的标准型不唯一，和所作的非退化线性替换有关（即X=TY,其中X=(x1,x2,…)’，Y=(y1,y2,…)’）

20.实二次型：实数域上的二次型简称为实二次型

21.首先，X‘AX经过非退化线性替换可化成下述形式的标准型：
d1y1²+d2y2²+…+d_py_p²-d_p+1y_p+1²-…d_ry_r²
其中r是该二次型的秩。
然后我们在做一个非退化线性替换：
yi=zi·1/$\sqrt[2]{di}$，则原二次型可化为
z1²+z2²+…+z_p²-z_p+1²-…z_r²
称这个标准型为X’AX的规范形。它的特征是：
1）只含平方项，且各项系数为1/-1/0
2）系数为1的平方项都在前面
3）规范形由两个自然数p,r决定，其中r是原二次形的秩

22.定理1（惯性定理）：n元实二次型的规范形是唯一的

• 正惯性指数：X‘AX的规范形的系数为1的平方项个数p称为该二次型的正惯性指数，这个正惯性指数也是标准型中系数为正的平方项的个数
• 负惯性指数：X‘AX的规范形的系数为-1的平方项个数r-p称为该二次型的负惯性指数，这个负惯性指数也是标准型中系数为负的平方项的个数
• 符号差：X’AX的正惯性指数减去负惯性指数得到的差称为该二次型的符号差

24.命题1：两个二次型等价$\iff$它们的规范形相同$\iff$它们的秩和正惯性指数都相等

25.从标准型和正负惯性指数的关系可以知道，虽然标准型不唯一，但是二次型的标准型中系数为正的平方项个数和负平方项个数都是唯一的。

26.合同规范形：任一n级实对称矩阵A合同于对角矩阵diag{1,1,…,1,-1,…,-1,0,…,0}。其中1的个数是该二次型的正惯性指数，-1的个数是该二次型的负惯性指数。这个对角矩阵称为A的合同规范形

27.推论2：两个n级实对称矩阵合同$\iff$它们的秩相等，且正惯性指数也相等

28.复二次型的规范形为z1²+z2²+…+z_r²,它的特征和实二次型的比起来就是第二第三个特征有所不同而已：
1）只含平方项(同实二次型)
2）平方项的系数为1/0
2）完全由秩决定

6.3 正定二次型与正定矩阵

29.正定二次型： 如果对于Rⁿ中的任意非零列向量α，均有α‘Aα>0，则称实二次型X’AX为 正定二次型。在这个转换中，X‘AX相当于带未知数的方程，α相当于未知数的值组成的列向量，因此从X‘AX到α‘Aα的过程相当于给多项式代入具体值，从而求出该多项式在这组解下的值。

30.若实二次型X‘AX是正定的，那么我们称该实对称矩阵A为正定的.正定的实对称矩阵称为正定矩阵

31.顺序主子式：
定义：方阵A的k阶顺序主子式是由A的前k列和前k行元素按原来的顺序组成的
图示：

32.定义3 半正定（负定，半负定）：如果对于Rⁿ中任一非零列向量α，都有α‘Aα>=0（<0, <=0），则称该二次型是半正定（负定，半负定）的。而如果X‘AX既不半正定，又不半负定，那么称X’AX是 不定的.

33.定义4：矩阵A称为半正定（负定，半负定，不定）的，如果X’AX是半正定（负定，半负定，不定）的。

34.定理7 何塞矩阵：设二元实值函数F(x,y)有一个稳定点α=（x0,y0），（即F（x,y）在（x0,y0)处的一阶偏导数全为0）.设F（x,y)在（x0,y0)的一个领域里有3阶连续偏导数。令H=
{ F ′ ′ x x ( x 0 , y 0 ) F ′ ′ x y ( x 0 , y 0 ) F ′ ′ x y ( x 0 , y 0 ) F ′ ′ y y ( x 0 , y 0 ) } (4) \left\{

$$\begin{matrix} F''xx(x0,y0)&F''xy(x0,y0) \\ F''xy(x0,y0)&F''yy(x0,y0) \end{matrix}$$ \right\} \tag{4} {F′′xx(x0,y0)F′′xy(x0,y0)​F′′xy(x0,y0)F′′yy(x0,y0)​}(4)
( F’'xx(x0,y0)表示对x的连续两阶偏导)
称H是F(x,y)在（x0,y0）处的何塞矩阵，如果H正定，那么F（x,y)在（x0,y0）处达到极小值；如果H负定，那么F（x,y)在（x0,y0）处达到极大值

这个定理也可以推广到n元函数的情形，设F(x1,x2,…,xn)有一个稳定点α=（a1,a2,…,an），设F(x1,x2,…,xn)在α的一个邻域里有3阶连续偏导数。令H=(F’'_xixj(α))，则称H是F在α处的何塞矩阵。如果H正定，则F在α处取极小值；如果负定，F在α处取极大值

其它

1.厄米特矩阵：厄米特矩阵（Hermitian Matrix，又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”），指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。