层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种决策分析工具，由美国数学家托马斯·L. 萨蒂（Thomas L. Saaty）于1970年发明。该方法运用了数学、心理学和管理学的基本原理，旨在帮助人们更好地进行多准则决策。AHP方法包括构建层次结构模型、建立判断矩阵、计算权重和一致性指标、进行结果分析等步骤。它的基本思想是通过比较不同元素之间的相对重要性，从而得出最终的决策。AHP方法在许多领域应用广泛，如投资决策、市场营销、工程管理、环境评估等。

理论太多，直接来点实际问题，比如有三个对象同时追你

对象A家产富裕，但是身高外貌学历可能一般般

对象B家产一般般，身高外貌学历也是一般般

对象C家产并不富裕，但是身高外貌学历非常优秀。

这时候你该如何选择？

计算步骤

模型的建立

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。

最高层是指决策的目的、要解决的问题。

最低层是指决策时的备选方案。

中间层是指考虑的因素、决策的准则。

对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

正互反矩阵

即 $A=(a_{ij})_{n\times n}\left\{\begin{matrix}a_{ij}>0\\ \\ a_{ij}=1/a_{ji} \end{matrix}\right.$

例如下面这个矩阵。

（X1身高，X2学历，X3外貌，X4资产）

$A=\begin{bmatrix} 1 &1/2 &1/3 &1/2 \\ 2 &1 & 1/2 & 1\\ 3& 2 &1 &2 \\ 2 &1 &1/2 & 1 \end{bmatrix}$

该矩阵内的每一个元素代表决策者对择偶的选择重要性来说，

比如 $a_{12}=1/2$ 代表身高X1与学历X2的重要程度之比，顾名思义就是决策者认为学历比身高稍微重要一些。

再看 $a_{21}=2/1$ 代表学历X2与身高X1的重要程度之比，顾名思义就是决策者认为学历比身高稍微重要一些。

接下来就是把四个元素（身高、学历、外貌、资产）进行两两比较。n(n-1)/2=3+2+1

根据决策者自己觉得的重要程度之比

即可得到矩阵的上三角元素。上三角元素出来了，下三角也易知。

之后你可能会发现， $a_{12}=1/2$ ， $a_{23}=1/2$ ，那么理论上来说X1:X3应该是1：4

但A矩阵里面的 $a_{13}=1/3$ ，和实际的1/4并没有达成一致性

因此我们需要对A矩阵不一致的范围加以界定。

所以一致性指标和一致性检验的概念就出现了

一致性指标和一致性检验

一致性指标

$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}$ （ $\lambda$ 为A的最大特征值，n为阶数）

CI越大说明一致性越差。

CI越接近0说明是满意的一致性。

随机一致性指标

n	3	4	5	6	7	8	9	10
RI	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49

Saaty给出的随机一致性指标RI的数值

一致性比率

$CR=\frac{CI}{RI}$

当CR小于0.1时，说明通过一致性检验

当大于等于0.1时，说明不通过一致性检验，需要回去重新对矩阵进行调整。

假设A矩阵已经通过一致性检验，那么A最大特征值对应的特征向量可以作为权向量。

所以对于前面的A矩阵。 $\lambda =4.0104$ ,n=4,CI算的0.0035

又由RI数值表知RI=0.90.所以CR算的0.0039＜0.1，故通过一致性检验。

通过一致性检验，归一化的特征向量（权向量）就出来了

$w=(0.1223,0.2270,0.4236,0.2270)^T$

权向量有了，接下来就是计算综合权重的问题。

在此之前需要先引入一致矩阵的概念。

一致矩阵

$G=\begin{bmatrix} 1 &2 &8 \\ 1/2& 1& 4\\ 1/8& 1/4 &1 \end{bmatrix}$

可以看出每一行都成比例，所以可以化成 $G=\begin{bmatrix} 1 &2 &8 \\ 0& 0& 0\\ 0& 0 &0 \end{bmatrix}$

即秩为1.

容易看出该矩阵的性质： $\frac{a_{ik}}{a_jk}=a_{ij}$

G的秩为1，唯一非零特征根为n，任何一列向量都是对应于特征根n的特征向量。

总结：

综合权重

前面我们已经算出来了第二层（准则层）对第一层（目标层）的权重。

接下来我们用同样的方法确定第三层（方案层）对第二层每一准则的权重。

二层对一层，二层四个元素，一层一个元素，即构成一个四乘四的矩阵

三层对二层，三层三个元素，二层四个元素，即构成四个三乘三的矩阵。

即

易看出只有B3为一致阵。其他三个需要进行一致性检验。

第三行的数值。即B1~B4下面那一行，分别是对象1对四项准则的权重。

所以把他们与矩阵A的权向量相乘，即可得到对象1对目标层的权重。

对象2、对象3也类似可以得到。

所以综合权重W=（对象1xA权向量，对象2xA权向量，对象3xA权向量）

用matlab计算得W=(0.4505,0.3202,0.2292)^T

即三位对象排名为对象1、对象2、对象3

简单例题

这题直接一眼看穿，任意两行构成比例，即为一致矩阵，易知可通过检验

$\lambda =n$ =3,所以随便一列归一化计算即可得到权向量。

咱们拿第一列出来,即权向量为W=(w1,w2,w3)

w1=1/(1+0.5+0.6667)=0.5455

w2=0.5/(1+0.5+0.6667)=0.2727

w3=0.6667/(1+0.5+0.6667)=0.1818

所以W=(0.5455,0.2727,0.1818)

这题也是直接一眼看穿，任意两行构成比例，即为一致矩阵，易知可通过检验

$\lambda =n$ =3,所以随便一列归一化计算即可得到权向量。

咱们拿第一列出来,即权向量为W=(w1,w2,w3)

w1=1/(1+0.5+0.25)=0.5714

w2=0.5/(1+0.5+0.25)=0.2857

w3=0.25/(1+0.5+0.25)=0.1428

所以W=(0.5714,0.2857,0.1428）

综合例题

（1）四项标准在某君心目中的重要性即二层（准则层）对一层（目标层）的权重。

题中给出A矩阵最大特征值对应的特征向量为（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）

所以心目中的重要性C1>C2>C3>C4.

即待遇>离家近远>晋升机会>工作环境。

（2）

即重要程度b>a>c.

a=40.91%

b=44.16%

c=14.93%

声明：本文内容由网友自发贡献，不代表【wpsshop博客】立场，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有侵权的内容，请联系我们。转载请注明出处：https://www.wpsshop.cn/w/你好赵伟/article/detail/703463