机器学习：线性回归梯度下降预测波士顿房价_数据挖掘boston 房价预测(线性回归-单变量)最小二乘法

线性回归

分类： 目标值离散
回归： 目标值连续

线性回归：寻找一种能预测的趋势

线性关系：
    -二维：直线关系
    -三维：平面
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线性关系定义

$$y=kx+b$$

参数b，偏置项，为了对于单个特征的情况更加通用
参数k，权重

$$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_d{x}_d+b$$

线性回归定义：
线性回归通过一个或多个自变量与因变量之间进行建模的回归分析

一元线性回归：变量只有一个
多元线性回归：变量两个或以上

通用公式：
$$h(w)=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...=w^{T}x$$
其中w，x为矩阵
w = ( w 0 w 1 w 2 ) w =

$$\begin{pmatrix} w_0 \\ w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}$$ w=⎝⎛​w0​w1​w2​​⎠⎞​, $x=\left(\begin{array}{c}1\\ x_1\\ x_2\end{array}\right)$

属性和权重的组合来预测结果

矩阵

        数组              矩阵
0维      1

1维      [1, 2, 3]

2维      [               必须是二维的
          [1, 2, 3],     满足了特定的运算要求
          [4, 5, 6]      
         ]

3维      [[
           [1, 2, 3],
           [4, 5, 6]
          ],[
           [1, 2, 3],
           [4, 5, 6]
         ]]
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数组的运算：加法，乘法
numpy.ndarray

矩阵乘法：
(m行，l列) * (l行，n列) = （m行，n列）

特征值                 权重              目标值
[[1, 2, 3, 4]]   [[1], [2], [3], [4]]   一个样本一个值
(1, 4)              (4, 1)              (1,1)
(100, 4)              (4, 1)              (100,1)

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数组相乘

import numpy as np

a = [
	[1, 2, 3, 4], 
	[5, 6, 7, 8], 
	[1, 4, 3, 5]
]
b = [2, 2, 2, 2]

np.multiply(a, b)

Out[5]: 
array([[ 2,  4,  6,  8],
       [10, 12, 14, 16],
       [ 2,  8,  6, 10]])

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矩阵相乘

import numpy as np

a = [
	[1, 2, 3, 4], 
	[5, 6, 7, 8], 
	[1, 4, 3, 5]
]
c = [
	[2], 
	[2], 
	[2], 
	[2]
]

np.dot(a, c)
Out[9]: 
array([[20],
       [52],
       [26]])

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线性回归

求函数中的参数w，使得损失函数最小

迭代的算法

损失函数（误差大小）

$$f(a)=(h_w(x_1)-y_1{)}^2+(h_w(x_2)-y_2{)}^2+...+(h_w(x_m)-y_m{)}^2$$
$$f(a)=\sum _{i=1}^m(h_w(x_i)-y_i{)}^2$$
$y_i$ 为第i个训练样本的真实值
$h_w(x_i)$ 为第i个训练赝本特征值组合预测函数
又称为最小二乘法

尽量去减少损失，算法的自我学习过程

算法      策略（损失函数） 优化
线性回归     误差平方和    正规方程
            最小二乘法    梯度下降

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最小二乘法之正规方程

$$w=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$

$X$ 为特征矩阵
$y$ 为目标值矩阵
缺点：当特征过于复杂，求解速度太慢

$X^T$ 转置

$X^{-}1$ 求逆 -> $X\ast ?=单位矩阵$
单位矩阵

[
 [1, 0, 0], 
 [0, 1, 0], 
 [0, 0, 1]
]
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最小二乘法之梯度下降

方向
$$d=\frac{bcost(w0+w1x1)}{bw1}$$

$$w1:=-w1-ad$$
$$w0:=-w0-ad$$

a是学习速率

沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新w值

使用：面对训练数据规模十分庞大的任务

线性回归API

普通最小二乘线性回归
sklearn.linear_model.LinearRegression
coef_ 回归系数

使用SGD最小线性模型
sklearn.linear_model.SGDRegressor
coef_ 回归系数

scikit-learn
优点：封装好，建立模型简单，预测简单
缺点：算法过程，参数都在算法内部优化

v0.18
v0.19 转换器 estimator 要求数据必须是二维数据
reshape(-1, 1)

TensorFlow
封装高低都有，自己实现线性回归

回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE评价机制
$$MSE=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y^i-y^{-}{)}^2$$

$y^i$预测值
$y^{-}$真实值

梯度下降和正规方程区别

代码示例

# -*- coding: utf-8 -*-

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 加载数据
boston = load_boston()

# 训练集，测试集拆分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    boston.data, boston.target, test_size=0.25)

# 数据标准化处理
# 特征值 标准化
std_x = StandardScaler()
X_train = std_x.fit_transform(X_train)
X_test = std_x.transform(X_test)

# 目标值 标准化
std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))

# 正规方程 线性回归预测
lr = LinearRegression()
lr.fit(X_train, y_train)

print(lr.coef_)

y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(X_test))
print(y_lr_predict)

# 梯度下降 线性回归预测
sgd = SGDRegressor()
sgd.fit(X_train, y_train)

print(sgd.coef_)

y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(X_test))
print(y_sgd_predict)

# 性能评估 均方误差
lr_mse = mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_lr_predict)
sgd_mse = mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_sgd_predict)

print(lr_mse)  # 28.97
print(sgd_mse)  # 31.36

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