【动态规划】零基础解决路径问题（C++）

目录

62.路径问题

解法（动态规划）：

1. 状态表⽰：

2. 状态转移⽅程：

3. 初始化：

4. 填表顺序：

5. 返回值：

不同路径2.0

解法（动态规划）：

1. 状态表⽰：

2. 状态转移：

3. 初始化：

4. 填表顺序：

5. 返回值：

代码

剑指Offer47.礼物的最⼤价值

方程;

代码：

931.下降路径最小和

 代码：

64.最小路径和 

【困难题】 174.地下城游戏（视频讲解）

总结：

---

62.路径问题

解法（动态规划）：

算法思路：

1. 状态表⽰：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

• i. [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
• ii. 从起始位置出发，到达[i, j] 位置，巴拉巴拉。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式： dp[i][j] 表⽰：⾛到[i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

2. 状态转移⽅程：

简单分析⼀下。如果dp[i][j] 表⽰到达[i, j] 位置的⽅法数，那么到达[i, j] 位置之 前的⼀⼩步，有两种情况：

• i. 从[i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到[i, j] 位置；
• ii. 从[i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到[i, j] 位置。

由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就呼之欲出了： dp[i][j] = dp[i - 1] [j] + dp[i][j - 1] 。

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

• i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
• ii. 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将dp[0][1] 的位置初始化为1 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态转移⽅程」的推导来看，

填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候 「从左往右」。

5. 返回值：

根据「状态表⽰」，我们要返回dp[m][n] 的值。

代码：

class Solution
{
public:
	int uniquePaths(int m, int n)
	{
		vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)); // 创建⼀个 dp表 
		dp[0][1] = 1; // 初始化 
 
		// 填表 
		for (int i = 1; i <= m; i++) // 从上往下 
			for (int j = 1; j <= n; j++) // 从左往右 
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
		// 返回结果 
		return dp[m][n];
	}
};

测试：

不同路径2.0

解法（动态规划）：

算法思路：

本题为不同路径的变型，只不过有些地⽅有「障碍物」，只要在「状态转移」上稍加修改就可解决。

1. 状态表⽰：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

• i. [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
• ii. 从起始位置出发，到达[i, j] 位置，巴拉巴拉。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式： dp[i][j] 表⽰：⾛到[i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

2. 状态转移：

简单分析⼀下。如果dp[i][j] 表⽰到达[i, j] 位置的⽅法数，那么到达[i, j] 位置之 前的⼀⼩步，有两种情况：

• i. 从[i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到[i, j] 位置；
• ii. 从[i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到[i, j] 位置。
• 但是， [i - 1, j] 与[i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能 到达[i, j] 位置的，也就是说，此时的⽅法数应该是0。 

由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上「有障碍物」，那么我们就不需要计算这个位置上的 值，直接让它等于0 即可。

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

• i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
• ii. 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将dp[0][1] 的位置初始化为1 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态转移⽅程」的推导来看，

填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候 「从左往右」。

5. 返回值：

根据「状态表⽰」，我们要返回dp[m][n] 的值。

代码

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& ob) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值
        int m = ob.size(), n = ob[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        dp[1][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (ob[i - 1][j - 1] == 0)
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

测试：

剑指Offer47.礼物的最⼤价值

方程;

对于dp[i][j] ，我们发现想要到达[i, j] 位置，有两种⽅式：

• i. 从[i, j] 位置的上⽅[i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达[i, j] 位置能 拿到的礼物价值为dp[i - 1][j] + grid[i][j] ；
• ii. 从[i, j] 位置的左边[i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达[i, j] 位置能 拿到的礼物价值为dp[i][j - 1] + grid[i][j] 

我们要的是最⼤值，因此状态转移⽅程为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j] 。

代码：

class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回结果
        int m = frame.size(), n = frame[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] =
                    max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + frame[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

测试：

931.下降路径最小和

 代码：

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回结果
        int n = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
        // 初始化第⼀⾏
        for (int j = 0; j < n + 2; j++)
            dp[0][j] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] =
                    min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) +
                    matrix[i - 1][j - 1];//每次只能min两个
        int ret = INT_MAX;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            ret = min(ret, dp[n][j]);
 
        return ret;
    }
};

64.最小路径和

代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

【困难题】 174.地下城游戏（视频讲解）

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

代码：

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        if (dungeon.empty() || dungeon[0].empty()) {
            return 0;
        }
        
        int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        
        dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1; //假设为1，因为后面要取正数的
        
        for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
                int minHealth = min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];
                dp[i][j] = max(1, minHealth);
            }
        }
        
        return dp[0][0];
    }
};

困难题还是有困难的原因的qwq

还有一点就是 dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1

可以理解为他救完公主之后还要有一点血，才能活着

总结：