2023国赛数学建模A题B题C题D题资料思路汇总 高教社杯_2023年全国大学生数学建模竞赛题目

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A题分析：

这是一个优化设计定日镜场以发电问题。定日镜场是太阳能热发电的核心设备。定日镜场通过大量定日镜反射和聚集阳光,加热工作流体发电。定日镜的layout和参数设计对效率至关重要。题目给定一个圆形场地,要求优化设计镜场的参数,使发电效率最大化。

所以本题是一个依旧是传统的优化问题，而且涉及到大量微分方程，还是有一定难度的，初步的思路如下：

问题1、若将吸收塔建于该圆形定日镜场中心， 定日镜尺寸均为 6 m×6 m，安装高度均为 4 m，且给定所有定日镜中心的位置（以下简称为定日镜位置， 相关数据见附件），请计算该定 日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率， 以及单位镜面面积年平均输出热功率（光学效 率及输出热功率的定义见附录） 。请将结果分别按表1和表 2的格式填入表格。

在这个问题中，我们有一个预先设计好的定日镜场，其中包括吸收塔、集热器和定日镜等组件。吸收塔高度为80 m，集热器是一个高8 m、直径7 m的圆柱形结构。吸收塔周围100 m范围内没有定日镜，这个空地用于建造其他必要的设施，如厂房、发电、储能和控制设备等。

定日镜是平面矩形形状，其边长范围是2 m至8 m，安装高度在2 m至6 m之间。另外，由于需要进行维护和清洗，相邻两个定日镜底座中心的距离必须比镜面宽度多5 m。

所有的“年均”指标都是基于当地时间每月21日的5个时间点（9:00、10:30、12:00、13:30、15:00）来计算的。

我们的目标是计算年平均光学效率、年平均输出热功率和单位镜面面积年平均输出热功率。由于所有参数都是已知的，我们可以直接应用给定的公式进行计算。

对于第一个子问题：年平均光学效率

我们先使用给出的光学效率模型，该模型应包括多个子因素（如阴影效应、余弦效应和大气透射率等）。每个定日镜，在每个特定的时间点，我们要去用模型来计算光学效率。再对所有时间点的数据进行平均，以得到年平均光学效率。

对于第二个子问题：年平均输出热功率

我们考虑使用给出的输出热功率模型：

对于每个时间点，使用已知的DNI、定日镜面积和光学效率来计算总输出热功率。然后再对所有时间点的数据进行平均，以得到年平均输出热功率。

第三个小问：单位镜面面积年平均输出热功率

我们可以只需将总输出热功率除以总镜面面积。使用上面得到的总输出热功率和总镜面面积来计算单位面积输出热功率。对所有时间点的数据进行平均，以得到单位镜面面积年平均输出热功率。

问题2、按设计要求，定日镜场的额定年平均输出热功率（以下简称额定功率）为60 MW 。 若所有定日镜尺寸及安装高度相同，请设计定日镜场的以下参数： 吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置， 使得定日镜场在达到额定功率的条件下， 单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。请将结果分别按表 1 、2 、3的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到 result2.xlsx 文件中。

问题二需要优化单位镜面面积年平均输出热功率尽量大

我们的主要变量是定日镜数量和位置、定日镜尺寸，以及定日镜安装高度

约束条件包括

1.吸收塔周围100 m范围内不安装定日镜

2.相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多 5 m以上

3.安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及地面。

问题二可以考虑使用问题1中的模型和方法，对初步设计进行模拟和计算。

使用光学效率和输出热功率的模型，为每个设计的定日镜进行计算。

然后优化方法可以考虑使用启发式算法：模拟退火、遗传算法，或者是梯度上升。

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B题分析：

我们先看B题的一个背景

它是利用声波在水中的传播特性来测量水体深度。声波在均匀介质中作匀速直线传播，在不同界面上产生反射。由于采取单点连续的测量方法，其测深数据分布沿航迹密集，而在测线间没有数据。在单波束测深的基础上发展，能发射出数十个乃至上百个波束，覆盖更广的水域。多波束测深条带的覆盖宽度随换能器开角和水深的变化而变化。相邻条带之间的重叠率定义，并应在10%~20%之间。

问题1、与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 a的斜线（图 7）， 称a为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。

求解多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率，我们首先需要理解多波束测深与单波束测深的差异。多波束测深可以同时测量多个点的深度，而不仅仅是垂直下方的一个点。

在多波束测深中，一个关键参数是覆盖宽度w,即在与航迹垂直的平面上，多波束测深可以覆盖多宽的区域。另一个关键参数是相邻条带（也就是相邻测线）之间的重叠率n,这两个参数都受到换能器开角西塔、海水深度D以及其他因素如海底坡度a的影响。

上面的模型还需要考虑海底坡度a。坡度会影响声波的传播，从而影响覆盖宽度和重叠率。因此，我们可以引入一个修正系数k(a)，它是坡度a的函数。

覆盖宽度模型为：

问题2、考虑一个矩形待测海域（图 8），测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角为β,请建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。

问题二个问题在问题1的基础上增加了一个新的约束条件：矩形海域。在这个特定形状的海域内，我们需要重新考虑如何最有效地进行多波束测深。与问题1相似，主要的参数还是覆盖宽度w，换能器开角θ，和海水深度D。不过，这里还引入了一个新的参数，即测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角β。

问题3、考虑一个南北长2海里、东西宽4海里的矩形海域内，海域中心点处的海水深度为110 m，西深东浅， 坡度为1.5∘ ,多波束换能器的开角为 120∘。请设计一组测量长度最短、 可完全覆盖整个待测海域的测线，且相邻条带之间的重叠率满足10%~20%的要求。

问题三是要去考虑如何设计测线，用最短的总长度完全覆盖整个待测海域。这实际上是一个优化问题，给出的约束条件是相邻条带之间的重叠率必须在10%到20%之间。适用的算法有很多，比如模拟退火、遗传算法、粒子群优化等。但是这一问，我还是推荐大家使用遗传算法，无非是选择、交叉、变异嘛，不会的可以现学一下。

问题4、海水深度数据（附件.xlsx）是若干年前某海域（南北长5海里、东西宽 4 海里） 单波束测量的测深数据，现希望利用这组数据为多波束测量船的测量布线提供帮助。在设计测线时，有如下要求： (1)沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个待测海域； (2)相邻条带之间的重叠率尽量控制在20% 以下；(3)测线的总长度尽可能短。在设计出具体的测线后，请计算如下指标： (1) 测线的总长度； (2)漏测海区占总待测海域面积的百分比；(3)在重叠区域中， 重叠率超过20% 部分的总长度。

这个问题他要我们基于历史的单波束测量数据来设计多波束测量船的测量布线。附件数据可以提供有关海域深度和地形的有用信息，这些信息可以用于优化多波束测量。

我们先做一个数据预处理，然后从清洗后的数据中提取有用的特征，接着还是一个优化问题的嘛：最小化多波束测量的总长度和总时间。

然后约束条件为：完全覆盖待测区域。根据历史数据对关键区域进行更密集的测量。

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C题分析：

我们先看C题的一个背景

在生鲜商超中,蔬菜类商品保鲜期短,且品相会随销售时间增加而变差。商超需要根据历史销售和需求每天进行补货。由于蔬菜品种众多、产地不同,补货时间在凌晨,商家须在不明确具体单品和价格的情况下进行补货决策。

附件1给出了6个蔬菜品类的商品信息;附件2和3分别给出了2020年7月至2023年6月各商品的销售流水和批发价格;附件4给出了各商品近期的损耗率

问题1、蔬菜类商品不同品类或不同单品之间可能存在一定的关联关系，请分析蔬菜各品类及单品销售量的分布规律及相互关系。

我们首先还是要做数据的预处理和可视化

我们先计算每个品类和单品的平均销售量、中位数、众数、方差等，以了解其分布特性。还可以使用时间序列分析来识别销售趋势或季节性。

再去根据描述性统计的结果考虑使用Pearson还是Spearman相关系数来量化不同品类或单品之间的关联关系。使用聚类算法（K-means或层次聚类）来识别具有相似销售模式的品类或单品。

问题2、考虑商超以品类为单位做补货计划，请分析各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价的关系，并给出各蔬菜品类未来一周(2023 年 7 月 1-7 日)的日补货总量和定价策略，使得商超收益最大。

分析销售量与成本（批发价格）之间的关系。我们可以考虑使用相关性分析、回归分析等。然后用时间序列分析或随机森林、XGBoost预测未来一周每个品类的日销售量。

使用线性或非线性规划模型，以销售收入减去成本和损耗为目标函数，来求解未来一周每个品类的最优日补货总量和定价。

约束条件包括像库存限制、销售空间限制、成本等。

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D题分析：

问题1不考虑不确定因素和种羊的淘汰更新，假定自然交配期20天，母羊都能受孕，孕期149天，每胎产羔2只，哺乳期40天，羔羊育肥期210天，母羊空怀休整期20天。 该湖羊 养殖场现有 112 个标准羊栏，在实现连续生产的条件下， 试确定养殖场种公羊与基础母羊的合理数量，并估算年化出栏羊只数量的范围。若该养殖场希望每年出栏不少于1500只羊，试估算现有标准羊栏数量的缺口。

在这一问题中，我们需要在给定的条件下（112个标准羊栏、自然交配期20天等）确定种公羊和基础母羊的合理数量，并估算年化出栏羊只数量。这个问题可以通过确定性模型来解决。我们考虑湖羊生命周期的各个阶段，包括交配、怀孕、哺乳和育肥，以及每个阶段所需的时间。

然后去定义我们的目标和约束，目标是要最大化年出栏羊只数量和/或最小化羊栏的闲置。约束包括羊栏数量、各阶段湖羊的羊栏需求、种公羊和基础母羊的比例等。

基于上述目标和约束，构建数学优化模型。可以使用整数规划模型，其中变量可以是各阶段的湖羊数量，目标函数是年出栏羊只数量，约束条件是羊栏使用情况，

可以使用Simplex算法或遗传算法来求解模型。

在问题1的基础上， 对112个标准羊栏给出具体的生产计划（包括种公羊与基础 母羊的配种时机和数量、羊栏的使用方案、年化出栏羊只数量等），使得年化出栏羊只数量最大。

在这一问题中，我们需要为112个标准羊栏制定具体的生产计划，包括种公羊和基础母羊的配种时机和数量，以及羊栏的使用方案。基于问题1的结果，制定一个详细的时间表，说明何时进行配种、何时转移到下一个阶段等。我们需要考虑到各阶段湖羊的羊栏需求和羊栏的总数量。

在给定的约束条件下，尝试调整生产计划以最大化年出栏羊只数量。我们可以使用动态规划或模拟退火。

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E题分析：

初步的分析先给大家说一下，我们可以通过回归分析建立水沙量与水位、流量的统计模型,拟合年总流量和年总沙量。采用时间序列分析方法,检验水沙量的周期性、随机性、稳定性等,找出变化规律。接着建立水沙量预测模型,结合随机过程分析预测未来变化趋势。优化监测方案,考虑监测频率、位置等因素。比较不同时段的河底高程数据,评估调水调沙效果。建立河底变化模拟,预测不调水调沙的影响。

问题1研究该水文站黄河水的含沙量与时间、水位、水流量的关系，并估算近 6年该水文站的年总水流量和年总排沙量。

首先根据附件1中的水位、流量和含沙量原始监测数据。将含沙量设为因变量y,水位和流量设为自变量x1、x2,建立多元线性回归模型y = b0 + b1x1 + b2x2,利用最小二乘法估计参数。检验模型的显著性和拟合优度。如果模型通过显著性检验且拟合效果良好,则可以利用该模型模拟不同水位和流量条件下的含沙量,并计算预测含沙量。

根据给出的含沙量监测数据,使用简单随机抽样的方法,抽取一定数量的样本点。计算这些样本点的含沙量平局值,设为含沙量的总体平均值。然后利用水位和流量数据,结合建立的回归模型,对未监测到的含沙量时间点进行含沙量值预测。按时间顺序将预测含沙量累加,即可获得该水文站这6年的总排沙量。用类似方法,利用流量数据计算总流量。

问题2分析近6年该水文站水沙通量的突变性、季节性和周期性等特性， 研究水沙通量的变化规律。

这个问题我们要检查水沙监测数据的稳定性,采用单位根检验等方法检验含沙量、流量时间序列的平稳性。如果序列不平稳,进行一阶差分得到平稳序列。

构建含沙量、流量的自回归移动平均模型 ARMA/ARIMA,识别时间序列的自相关性和部分自相关性特征。建立最优ARIMA模型,模拟水沙时间序列,判断序列的随机性。通过模型残差分析判断序列的突变性特征。

问题3根据该水文站水沙通量的变化规律， 预测分析该水文站未来两年水沙通量的变化趋势，并为该水文站制订未来两年最优的采样监测方案（采样监测次数和具体时间等）， 使其既能及时掌握水沙通量的动态变化情况， 又能最大程度地减少监测成本资源。

问题3可以根据问题2建立的时间序列模型,进行未来2年水沙量的预测。结合随机过程理论分析预测结果的置信区间,给出不同置信水平下的预测区间。