数学建模学习笔记day4——层次化分析_层次总排序及一致性检验

层次分析法

层次分析主要有三大典型应用
（1）用于最佳方案的选取
（2）用于评价类问题
（3）用于指标体系的优选
层次分析法是根据问题的性质和要达成的目标，将问题分解为不同的组成因素，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，最终问题归结为最低层（决策的方案）相对于最高层（总目标）的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：
（1）建立层次结构模型
（2）构造判断（成对比较）矩阵
（3）层次单排序及其一致性检验
（4）层次总排序及其一致性检验

建立层次结构模型

• $最高层$：决策的目的、要解决的问题
• $最低层$：决策时的备选方案
• $中间层$：考虑的因素、决策的准则
  而对于相邻的两层，较高层为目标层，较低层为因素层

构造判断（成对比较）矩阵

矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素$a_{ij}$用1-9标度方法给出。标度越大，说明两者重要程度差距大
以目标层和准则层为例

我们的判断矩阵可以设为
A = [ 1 1 / 2 4 3 3 2 1 7 5 5 1 / 4 1 / 7 1 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 5 2 1 1 1 / 3 1 / 5 3 1 1 ] A=

$$\begin{bmatrix} 1&1/2&4&3&3\\ 2&1&7&5&5\\ 1/4&1/7&1&1/2&1/3\\ 1/3&1/5&2&1&1\\ 1/3&1/5&3&1&1 \end{bmatrix}$$ A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​121/41/31/3​1/211/71/51/5​47123​351/211​351/311​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
可以发现该矩阵并不满足倍数关系，即$C_1$和$C_3$的比是4，而$C_3$和$C_4$的比是1/2，但是这并不意味着$C_1$和$C_4$的比是2，这也说明这个矩阵并不一致，一致的话是满足倍数关系。
一个正确的判断矩阵可以是不一致的，但也要确定不一致的允许范围。
一致阵的性质
- A的秩为1，A的唯一非零特征根为n
- 对应的特征向量归一化后可以作为权向量

层次单排序及其一致性检验

找出判断矩阵最大的特征根${\lambda }_{max}$的特征向量，经归一化后得到权向量w，w的元素为相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序
一致性检验就是检验对A不一致的允许范围
引入一个一致性指标：
$$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}$$
CI越大，不一致性越严重，对于不同的n，CI的允许范围也不同，所以再次引入新指标
随机一致性指标：
$$RI=\frac{C{I}_1+C{I}_2+...+C{I}_{500}}{500}$$
RI是记录在表的定值，需要的时候可以查表

自然就有一致性比率来衡量不一致的程度
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
当一致性比率<0.1即在允许范围之内

这里提一种特征根和特征向量的简化计算，如图所示
和法——取列向量的算数平均

层次总排序及其一致性检验

这是计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。

以上图为例，A层m个因素对总目标的排序为$a_1,a_2,...,a_m$
B层n个因素对上层A中因素为$A_j$的层次单排序为$b_{1j},b_{2j},...,bnj$
层次总排序的一致性检验（用层次总排序的一致性比率）
$$CR=\frac{a_{1}C{I}_1+a_{2}C{I}_2+...+a_{m}C{I}_m}{a_{1}R{I}_1+a_{2}R{I}_2+...+a_{m}R{I}_m}$$
同样的，当CR<0.1时，认为满足一致性

通过实例展示matlab代码编写

问题的提出

从20名队员中选出15名优秀的队员代表学校参赛，表1给出了20名队员的基本条件的量化情况

问题的分析与假设

需要对表1中所列的六个因素进行比较分析，综合排序选优，以下是假设部分
（1）题目中所确定的考评条件是合理的，能够反映出参选队员的建模能力
（2）各参选队员的量化得分是按统一的量化标准得出的
（3）对参选队员的量化打分是公平的，所有参选队员对打分结果无异议
（4）选拔队员所考虑的六个因素在选拔优秀队员中所起的作用依次为学科知识竞赛成绩、思维敏捷度、知识面宽广度、写作能力、计算机应用能力、团队协作能力，并且相邻两个因素的影响程度之差基本相同
其中第（4）个假设直接决定了准则层对目标层的比较矩阵的构建

模型建立与求解过程：

（1）建立层次结构图

（2）准则层对目标层的权重向量
构建比较矩阵
A = [ 1 2 3 4 5 6 1 / 2 1 2 3 4 5 1 / 3 1 / 2 1 2 3 4 1 / 4 1 / 3 1 / 2 1 2 3 1 / 5 1 / 4 1 / 3 1 / 2 1 2 1 / 6 1 / 5 1 / 4 1 / 3 1 / 2 1 ] A=

$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 1/2&1&2&3&4&5\\ 1/3&1/2&1&2&3&4\\ 1/4&1/3&1/2&1&2&3\\ 1/5&1/4&1/3&1/2&1&2\\ 1/6&1/5&1/4&1/3&1/2&1 \end{bmatrix}$$ A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​11/21/31/41/51/6​211/21/31/41/5​3211/21/31/4​43211/21/3​543211/2​654321​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​
根据假设，构造准则层C对目标层O的两两比较矩阵
准则层有6个因素，故可以构造出一个6阶的正反矩阵，计算A的最大特征根

[V,U]=eig(A);
temp=0;num=0;
for i=1:6
	if temp<U(i,i)
		temp=U(i,i);
		num=i;
	end
end
u=temp;v=V(:,num);
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得到最大特征根为u，其对应的特征向量为v，权重向量及对其归一化，得到权重向量w

v=abs(v);
w=v/sum(v);
1
2

一致性检验

CI=(u-6)/(6-1);
RI=[0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];
CR=CI/RI(6);
1
2
3

（3）确定方案层对准则层的权重向量
根据表1和模型假设，构造方案层P中20个队员对准则层中各因素$C_k$的比较矩阵
$$B_k=(b_{ij}^{(k)}{)}_{20\ast 20},b_{ij}^{(k)}=\frac{r_i^{(k)}}{r_j^{(k)}}$$
显然所有矩阵都是一致阵，于是$${\lambda }_{max}^{(k)}=20,C{I}_k=0,C{R}_k=0$$
（4）确定方案层P对目标层O的组合权重向量
构建一个对比矩阵

B=zeros(length(b),length(b));
for i=1:length(b)
	for j=1:length(b)
		B(i,j)=b(i)/b(j);
	end
end
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5
6

分别运用上述代码就可以获得6个权重向量，其对应着方案层20个元素对每个准则层因素的权重向量，合并得到$W_{20\ast 6}$的矩阵
则方案层对目标层的组合权重向量为：
$$w^{(3)}=W^{(3)}{w}^{(2)}$$
数据运算结果如图

这个数据就说明了20个队员的综合实力