两数之和、三数之和、四数之和、K数之和

两数之和、三数之和、四数之和和K数之和是最近听室友提起的几道有意思的基础题，可以说是把双指针运用的淋漓尽致。（K数之和其实是一个动态规划的题，此处因为满足*数之和的的结构，放在一起对比提一下）。

1、两数之和等于Target的下标

LintCode：https://www.lintcode.com/problem/two-sum/

题目描述：给一个整数数组，找到两个数使得他们的和等于一个给定的数 target。假设只有一组答案。

你需要实现的函数twoSum需要返回这两个数的下标, 并且第一个下标小于第二个下标。注意这里下标的范围是 0 到 n-1。

简析：此处需要返回的是数字所在位置的下标，不是判断是否存在。

第一种思路借助hashMap，key为数组中的值，value为其下标。遍历一次就可以找出目标答案，空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n)；

第二种思路构造Pair类然后进行排序，排序之后通过头尾双指针找到目标答案，时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)；

代码：

    //方案一：自定义pair类,排序之后使用双指针 时间复杂度o(nlogn),空间复杂度o(1)
    // 并实现comparable接口-compare方法重写（当然也可以使用匿名内部类，继承comparator类，compare方法重写）
    
public class Solution {

    class Pair implements Comparable<Pair>{
        public int key;
        public int value;

        Pair(int key, int value){
            this.key = key;
            this.value = value;
        }

        @Override
        public int compareTo(Pair o1){
            if(o1.value > this.value)
                return -1;
            else if( o1.value == this.value)
                return 0;
            else
                return 1;
         }
    }  //end of Pair Class
    
    public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {
        // write your code here
        int[] res = new int[2];
        if(numbers == null || numbers.length <= 1)
            return res;
        Pair[] pairs = new Pair[numbers.length];
        for(int i = 0; i < numbers.length; i ++){
            Pair pair = new Pair(i,numbers[i]);
            pairs[i] = pair;
        }
        Arrays.sort(pairs);
        int left = 0, right = numbers.length - 1;
        while(left < right){
            if(pairs[left].value + pairs[right].value == target){
                res[0] = Math.min(pairs[left].key, pairs[right].key);
                res[1] = Math.max(pairs[left].key, pairs[right].key);
                left ++;
                right --;
            }else if(pairs[left].value + pairs[right].value > target){
                right --;
            }else
            left ++;
        }
        return res;
    }
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     //方法二：使用hashmap，此时不需要排序。时间复杂度o(n),空间复杂度o(n)
    //hashmap中存储键为数值，值为对应的数组下标
    
    public int[] twoSum2(int[] numbers, int target){
        if(numbers == null || numbers.length <= 1)
            return null;
        int[] res = new int[2];
        HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();  //key-numbers[i]  value- i
        for(int i = 0; i < numbers.length; i ++){
            //首先判断当前元素与前面的元素是否可以组成target
            if(map.keySet().contains(target - numbers[i])){
                res[1] = i;
                res[0] = map.get(target - numbers[i]); //另一个数的下标序号
                return res; //只有一组结果，此处直接返回
            }
            map.put(numbers[i],i); //将当前元素加入到HashMap
        }
        return res;
    }
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2、三数之和等于0的组合排列

LintCode：
题目描述：给出一个有n个整数的数组S，在S中找到三个整数a, b, c，找到所有使得a + b + c = 0的三元组。在三元组(a, b, c)，要求a <= b <= c。结果不能包含重复的三元组。

简析：此题目target是固定等于0，那么要求的a、b、c中一定是正负相加或者全0。我们可以枚举首位a，然后用双指针遍历找出和为target - a的俩数。注意，要使用双指针必须首先保证有序性。

注意此题目要求输出的组合中不能有重复，所以要去重。去重的方法无非就是：枚举首位元素a的时候，保证不重复。当找到某组组合之后，第二位的元素和第三位的元素都需要去重。在有序数组中，该去重操作就是就是移到到下一位不想等的元素上。a元素如果发现已经被枚举过了，则将a元素指针i进行i ++，b元素如果之后重复是相等的，则不断后移，直到移到后面第一个不是该元素的位置上。实现起来就是while(numbers[left] == numbers[left + 1]) left ++，完成while循环之后，再加一个left ++。

代码：

public class Solution {
    /**
     * @param numbers: Give an array numbers of n integer
     * @return: Find all unique triplets in the array which gives the sum of zero.
     */
    public List<List<Integer>> threeSum(int[] numbers) {
        // write your code here
        
        //边界判断
        if(numbers == null || numbers.length == 0)
            return null;
        
        //返回的二维list
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        
        //数组排序
        Arrays.sort(numbers);
        
        //枚举首位元素a + 双指针遍历
        for(int i = 0; i < numbers.length - 2 && numbers[i] <= 0; i ++){
            
            //首位元素去重
            while(i >= 1 && i < numbers.length - 2 && numbers[i] == numbers[i - 1])
                i ++;
            int left = i + 1;
            int right = numbers.length - 1;
            //left < right 同时约束了指针的范围，避免了 i++ 越界
            while(left < right){ 
                if(numbers[i] + numbers[left] + numbers[right] == 0){
                    List<Integer> tmp =  new ArrayList<>();
                    tmp.add(numbers[i]);
                    tmp.add(numbers[left]);
                    tmp.add(numbers[right]);
                    res.add(tmp);
                    //第二位元素去重
                    while(left + 1 < right && numbers[left] == numbers[left + 1])
                        left ++;
                    //第三位元素去重
                    while(left < right - 1 && numbers[right] == numbers[right - 1])
                        right --;
                     //注意！！去重结束之后仍要同时移动left和right指针
                     //保证指针移动到了第一个不是重复元素的位置上
                    left ++; right --;    
                }else if(numbers[i] + numbers[left] + numbers[right] > 0)
                    right --;
                else
                    left ++;    
            }
        }
        
        return res;
    }
}
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3、三数之和小于Target的组合总数目

LintCode: https://www.lintcode.com/problem/3sum-smaller/description

题目描述：给定一个n个整数的数组和一个目标整数target，找到下标为i、j、k的数组元素0 <= i < j < k < n，满足条件nums[i] + nums[j] + nums[k] < target。输出满足上述条件的组合的总数。

简析：需要找和为target的三个数，可以首先确定一个数A，然后找和为target-A的两个数。

(错误思路：“从数学角度来看，三个数和为target，一定至少有1个小于等于target的数。所以可以A数的范围定在<= target的范围进行枚举，剩余两数则在大于A的范围内进行双指针遍历”。 这种想法非常非常错误的，比如target= (-4) = (-2) + (-2) + 0，三个数都比target要大。当target为0和正数的时候，刚才的说法才是正确的。）

通过剖析上面的错误思路，对于首位数字的枚举，不能仅仅只枚举小于等于target的数，应该遍历到数组中所有的数，也就是从[0, length -3]，最后两位要留给剩余两个数字。

代码：

public class Solution {
    /**
     * @param nums:  an array of n integers
     * @param target: a target
     * @return: the number of index triplets satisfy the condition nums[i] + nums[j] + nums[k] < target
     */
    public int threeSumSmaller(int[] nums, int target) {
        // Write your code here
        int cnt = 0;
        if(nums == null || nums.length == 0)
            return cnt;
        //数组排序后方可使用双指针
        Arrays.sort(nums);

        //枚举首位数字
        for(int i = 0; i <= nums.length - 3; i ++){
            int left = i + 1;
            int right = nums.length - 1;
            //确定首位数字后，双指针遍历
            while(left < right){
               //当和小于target时：保持当前left不变，right指针从此处前移到left+1，所有的和都将小于target
               //所以此时满足条件的情况的数目等于 right - (left + 1) + 1 = right - left
                if(nums[left] + nums[right] < target - nums[i]){ 
                    cnt += right - left;  
                    left ++;
                }else
                    right --;
            }
        }
        return cnt;
    }
}
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4、四叔之和等于Target的组合

LintCode:https://www.lintcode.com/problem/4sum/description

题目描述：给一个包含n个数的整数数组S，在S中找到所有使得和为给定整数target的四元组(a, b, c, d)。四元组(a, b, c, d)中，需要满足a <= b <= c <= d。答案中不可以包含重复的四元组。

简析：四数之和在三数之和的基础上又多了一个数字，仍旧使用双指针，此时需要枚举前两个元素a和b，双指针寻找c和d，是的c + d = target - a - b。在有序数组中的去重仍旧采用移动指针的方法，直到移动到第一个不相等的位置。

具体来说，在处理的时候要注意两个问题：1.数组越界 2.去重遍历的范围。

例如对第一个元素来说，i本身的范围是[0, numbers.length - 4]，但是当他处理0位置时候，不需要和前面的元素判重。判重的范围是[1, numbers.length - 4]，例如第1位置的数值与第0位置的数值相等，则需要跳过第1位置。

针对第二个元素，j本身的范围是[i + 1, numbers.length -3]。和第一个元素一样，他判重的范围是包含i + 1的。从i + 2位置开始，如果和前面元素相等，则需要跳过。

针对第三个和第四个元素而言，当出现满足要求的组合时候，就要进行去重，分别把left和right指针移动到不等于当前指针的第一个位置。移动指针过程中非常容易出现数组越界，在while(left < right)的循环中，要保证left指针left ++后都要小于right，right指针保证right -- 要大于left。

代码：

public class Solution {
    /**
     * @param numbers: Give an array
     * @param target: An integer
     * @return: Find all unique quadruplets in the array which gives the sum of zero
     */
    public List<List<Integer>> fourSum(int[] numbers, int target) {
        // write your code here
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if(numbers == null || numbers.length == 0)
            return res;
        
        Arrays.sort(numbers);
        //a元素遍历
        for(int i = 0; i < numbers.length - 3; i ++){
            
            //a元素去重
            while(i > 0 && i <  numbers.length - 3 && numbers[i] == numbers[i - 1])
                i ++;
            //b元素遍历
            for(int j = i + 1; j < numbers.length - 2; j ++){
                
                //b元素去重
                while(j > i + 1 &&  j < numbers.length - 2 && numbers[j] == numbers[j - 1])
                    j ++;
                    
                //双指针
                int left = j + 1;
                int right  = numbers.length - 1;
                while(left < right){
                    if(numbers[left] + numbers[right] + numbers[i] + numbers[j] == target){
                        List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
                        tmp.add(numbers[i]); 
                        tmp.add(numbers[j]); 
                        tmp.add(numbers[left]); 
                        tmp.add(numbers[right]);
                        res.add(tmp);
                        //第三个元素去重
                        while(left + 1 < right && numbers[left + 1] == numbers[left])
                            left ++;
                         //第四个元素去重   
                        while(left < right - 1 && numbers[right] == numbers[right - 1])
                            right --;
                        left ++; right --;    
                    }else if(numbers[left] + numbers[right] + numbers[i] + numbers[j] < target)
                        left ++;
                    else
                        right --;
                }
            }
        }        
        return res;
    }
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5、K数之和

此题目与上面的题目都是同一类型的，前面的题都是双指针的。此题目虽然是k数之和，看起来像三数之和、四数之和的拓展。但其实是动态规划的问题。

LintCode: https://www.lintcode.com/problem/k-sum/

题目描述：给定 n 个不同的正整数，整数 k（k <= n）以及一个目标数字 target。　
在这 n 个数里面找出 k 个数，使得这 k 个数的和等于目标数字，求问有多少种方案？
输入:
List = [1,2,3,4] ； k = 2 ； target = 5
输出: 2
说明: 1 + 4 = 2 + 3 = 5

简析：设状态为f[i][j][p]，表示前i个数中找出j个数且和等于p的方案数目。

那么状态转移方程： f[i][j][p] = f[i - 1][j][p] + f[i - 1][j - 1][p -num[i]]

最终返回f[n][k][target]即可

代码：

public class Solution {
    /**
     * @param A: An integer array
     * @param k: A positive integer (k <= length(A))
     * @param target: An integer
     * @return: An integer
     */
    public int kSum(int[] A, int k, int target) {
        // write your code here
        if(A == null || A.length ==0 || k <= 0)
            return 0;
        //正整数的总数从0 - A.length； 可选的个数从 0 - k; target也是从 0 - target
        int[][][] f = new int[A.length + 1][ k + 1][target + 1];
        //初始值
        for(int i = 0; i <= A.length; i ++){
            f[i][0][0] = 1;
        }
        //f[i][j][t] = f[i - 1][j][t] + f[i - 1][j - 1][t -A[i]]
        for(int i = 1; i <= A.length; i ++)
            for(int j = 1; j <= k; j ++)
                for(int t = 1; t <= target; t ++){
                    f[i][j][t] = f[i - 1][j][t];
                    f[i][j][t] += t - A[i - 1] >=0 ? f[i - 1][j - 1][t -A[i - 1]] : 0;
                }
        return f[A.length][k][target];
    }
}
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