信号的频谱 频谱密度 功率谱密度 能量谱密度的区别

  这几个概念，对于刚学信号系统的同学甚至对于很多信号处理的老手来说，都是分不清楚的，下面我们就一一解释这几个概念。

  要解释几个概念，就要首先说一下信号的能量和功率。信号按能量是否有限，可以分为：能量信号和功率信号，能量信号的能量是有限的，功率信号的能量是无限的。下面我们具体解释一下这两个概念。

  在信号系统领域，通常把信号功率定义为电流在单位电阻（1欧姆）上消耗的功率，即归一化功率P。

$$P=\frac{U^2}{R}=I^{2}R=U^2=I^2$$
一般的，用s表示电流或电压，信号能量是信号瞬时功率的积分，因此，信号的能量为：
$$E={\int }_{-\infty }^{+\infty }{s}^2(t)dt$$
若信号能量是一个正的有限值，即 $0<E<\infty$，则称为能量信号，此时的平均功率定义为：
$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{+T/2}{s}^2(t)dt$$
  由于积分里面是个有限值，而T是无穷大，因此P=0，所以能量信号的平均功率是0.
也就是说，如果P不是0（功率信号），那么积分的结果肯定是无穷大，也就说能量是无穷大。
所以，这里再重复一遍上面的结果：
  能量信号：能量有限，平均功率为0；
  功率信号：能量无穷大，功率非0。

补充一点：单位冲击信号是个特殊的信号，既不是能量信号，也不是功率信号。

  搞清楚上面两个概念之后，我们再来看信号的频率特性分类，有四种：功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、功率信号的功率谱（密度）和能量信号的能量谱密度

功率信号的频谱：

  周期性功率信号的频谱函数为：

$$c_n=c\left(n{f}_0\right)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T/2}^{+T/2}s(t){\mathrm{e}}^{-j2\pi f_{0}t}dt$$
式中， $f_0=1/T_0$ ，$n$为整数.

$$c_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T/2}^{+T/2}S(t)dt$$

  一般来说， $c_n$ 是一个复数，代表在频率 $n{f}_0$ 上信号分量的复振幅。

$$c_n=\left|c_n\right|e^{j{\theta }_n}$$

  对于周期性功率信号来说，其频谱函数cn（cn就是s(t)的傅里叶系数）是离散的，只有在f0的整数倍上取值。由于n可以取负值，所以在负频率上 c_{n} 也有值，通常称为双边频谱，双边普中负频谱仅在数学上有意义；在物理上，并不存在负频率。但我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数的关系，对于物理可实现信号有
$$c(-n)=conj(c(n))$$
即频谱函数的正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系。这就是说，负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的。
  对于非周期性的功率信号，原则上可以看成周期等于无穷大，仍然可以按照以上公式，但是实际上的积分是难以计算的。

能量信号的频谱密度：

  设一个能量信号为 s(t) ，则将它的傅里叶变换定义为它的频谱密度:
$$S(\mathrm{f})={\int }_{-\infty }^{+\infty }s(t){\mathrm{e}}^{-j2\pi ft}dt$$
  傅里叶变换存在的条件是f(t)在负无穷到正无穷的区间内积分为有限大，即绝对可积。因此傅里叶变换的结果就是能量信号的频谱密度，但为了统一说法，我们一般也叫频谱。
(我们平时所说的做个fft看频谱，其实是指的频谱密度）

  那为什么叫频谱密度呢？因为能量信号能量有限，并分布在连续的频谱轴上，所以在每个频点f上信号的幅度是无穷小，只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。所以，能量信号的频谱都是0，频谱密度才有意义。
  能量信号的频谱密度s(f)和周期性功率信号的频谱Cn的区别主要为：
  1. .S(f)是连续谱，Cn是离散谱。即周期对应离散，非周期对应连续。
  2. S(f)的单位是V/Hz，Cn的单位是V。
从傅里叶变换的公式可以看出，s(t)在时间维上的积分，结果的量纲应该是V*s = V/Hz，所以傅里叶变换的结果是频谱密度。

  这里多说一点，量纲是个好东西，很多公式不理解的时候，把量纲分析一下，能起到很大作用。
   看到这里，可能有点明白了。但再回想一下信号系统中最常见的正弦信号，这是个功率信号，但我们平时好像一直在说它的傅里叶变换，也并没有什么太大问题。这是因为引入了单位冲击函数 $\delta (t)$ ，其性质如下
{ ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 δ ( t ) = 0 ( t ≠ 0 ) \left\{

$$\begin{array}{c}{\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) d t=1} \\ {\delta(t)=0 \quad(t \neq 0)}\end{array}$$ \right. {∫−∞+∞​δ(t)dt=1δ(t)=0(t=0)​
$\delta (t)$ 在物理上是不可实现的，但在数学上， $\delta (t)$ 可以用某些函数的极限来描述。例如用抽样函数的极限描述：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{k}{\pi }Sa(kt)dt=1\to \delta (t)=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{k}{\pi }Sa(kt)$$

换句话说，抽样函数的极限就是冲激函数。

  有了冲激函数，我们就可以把功率信号当做能量信号看待，计算其频谱密度，功率信号在某些频率上的功率密度为无穷大。但是我们可以用冲击函数来表示这些频率分量。比如：
$$s(t)=\cos \left(2\pi f_{0}t\right)\to S(\mathrm{f})=\frac{1}{2}\left[\delta \left(f-f_0\right)+\delta \left(f+f_0\right)\right]$$
  因此，只要引入冲激函数，我们同样可以求出一个功率信号的频谱密度，换句话说，引用了冲激函数就能把频谱密度推广到功率信号上，即我们可以直接对功率信号做傅里叶变换。这样把傅里叶变换的结果统称为频谱（严格来说应该是频谱密度）。

能量信号的能量谱密度：

  根据Parseval定理，信号时域能量和频域能量相等，有

$$E={\int }_{-\infty }^{+\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{S}^2(f)df$$

  我们将 $|S(f){|}^2$ 称为能量信号的能量谱密度，它表示在频率f处宽度为df的频带内的信号能量，或者可以看做是单位频带内的信号能量。

功率信号的功率谱（密度）：

  这里为什么要把密度加括号呢？因为当我们说功率谱的时候，其实指的就是功率谱密度，它表示单位频率的信号功率。
  可能网上有人提过这种说法：若信号能量为E，时间为T，频带为F，则功率谱是表示为E/T；而功率谱密度是表示为E/T/F。
  这种说法其实是有问题的，因为E/T表示的是平均功率，而不是功率谱，平均功率并没有谱的概念。
  信号的平均功率定义为：
$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}|s(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|S(f){|}^2}{T}df$$

设 $\vartheta (f)$ 表示信号的功率谱密度，则有

$$P={\int }_{-\infty }^{\infty }\vartheta (f)df$$
因此，信号的功率谱密度为：

$$\vartheta (f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|S(f){|}^2}{T}$$

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