线性代数知识点总结_考研数学线性代数部分怎样复习

前言：

对于线性代数而言，数一、数二、数三的差别并不是很大，所以在这里我就不区分了。在线性代数中，线性方程组和矩阵的相似是考察的重点，并且大家还要注意线性方程组和向量之间的相结合，矩阵的相似和二次型的相结合。每年线性代数要考察两道大题，而往往这两道大题都是这两个知识点各考察一道

一、线代考什么

分值分布：2道选择题，每道题4分；1道填空题，每道题4分，2道解答题，每道题11分

1.行列式

题型：一般以填空题、 选择题为主，是必考内容，但在试卷中所占比例不是很大

考点：概念、性质、 运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。

重点：掌握计算行列式的方法

主要方法：降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶，但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开

2.矩阵

常见题型：

1. 计算方阵的幂

2. 与伴随矩阵相关联的命题

3. 有关初等变换的命题

4. 有关逆矩阵的计算与证明

5. 解矩阵方程

矩阵是线代的核心

考点：概念、运算及理论贯穿线性代数的始终这部分考点较多

重点：逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程

主要方法：

1. 首先用定义法，若计算比较复杂的话分别考虑以下情况

2. 矩阵三则运算与转置运算可用其性质来计算，牢记矩阵的加减乘法与转置计算的性质

3. 矩阵幂计算：归纳法、利用对角矩阵的性质、矩阵对角化法、利用初等矩阵的性质等

4. 逆矩阵计算：初等变换法(矩阵元素为具体数字常用)、伴随矩阵法(小型矩阵常用)、分块矩阵求逆法(大型且能化成对角子块阵或三角块阵适用)、利用线性方程组求逆矩阵法等。

3.向量

题型：

1. 判定向量组的线性相关性

2. 向量组线性相关性的证明

3. 判定一个向量能否由一向量组线性表出

4. 向量组的秩和极大无关组的求法

5. 有关秩的证明

6. 有关矩阵与向量组等价的命题

7. 与向量空间有关的命题

向量组的线性相关性是线代的重点，也是考研的重点

考点（重点）：概念、性质、理解及判定法

主要方法：

1. 定义法

2. 利用向量组的线性相关的充要条件

3. 方程组法

4. 反证法

5. 行列式值法

6. 矩阵秩法

4.线性方程组

题型：

1. 线性方程组的求解

2. 方程组解向量的判别及解的性质

3. 齐次线性方程组的基础解系

4. 非齐次线性方程组的通解结构

5. 两个方程组的公共解

6. 同解问题

方程组也是线代的重点

考点(重点):

1. 齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构

2. 齐次线性方程组基础解系的求解与证明

3. 齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)

主要方法：以线性方程组解的结构和求法为例

1. 先考虑线性方程组的基础解系

2. 然后再利用性质（如基础解系的线性无关性、与矩阵的秩之间的联系等）求解

5.特征值和特征向量

题型：

1. 数值矩阵的特征值和特征向量的求法

2. 抽象矩阵特征值和特征向量的求法

3. 判定矩阵的相似对角化

4. 由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题

特征值、特征向量是线代的重点内容

考点(重点):

1）特征值和特征向量的概念及计算

2）方阵的相似对角化

3)实对称矩阵的正交相似对角化

主要方法：

1. 定义法

2. 特征方程法

3. 性质法（运用特征值与特征向量的性质）

6.二次型

题型：

1. 二次型表成矩阵形式

2. 化二次型为标准形

3. 二次型正定性的判别

考点（重点）

1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念

2. 了解二次型的规范形和惯性定理

3. 掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形

4. 理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法

主要方法：由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题

1. 正确写出二次型的矩阵式是处理二次型问题的一个基础

2. 配方法（可逆的线性变换）

3. 正交化

二、准备什么

1.网课推荐

李永乐线代班

永乐大帝臣都说倦了，线代王呀各位，他讲课很有有系统性，解题思路很清晰，基本上会讲考研所有题型。他的基础课是把知识点和公式过一遍，但不会讲得太基础，有些地方会直接给结论；强化课会在讲到一个知识点时把其他章的知识点联系起来，比如强化课里讲的列式就联系到了后边的矩阵和特征值，知识结构体系搭建得很好，但需要有点基础的

汤家凤线代班

汤神是我见过讲基础讲得最好的老师，知识点掰得很细，比较稳，定理部分我觉得跟李永乐老师很互补，如果是基础不扎实可以先听汤神基础线代再接李永乐强化班，但需要时间来适应，（有很多同学都有点不适应，从汤再到李的跳跃）一般是不建议线代跟多个老师的。

2.教辅资料推荐

1）教材

在时间比较充足或者基础一般需要打牢基础的情况下，看教材是很有必要的，地基不牢盖的楼就是危房，盖不盖得起来都不一定；反之，如果基础比较好或者时间比较紧就不必太重视，直接跳到复习资料看大纲

作为教材，同济大学工程数学线性代数第五版是最好的书，会让你有种抓住根本的感觉，结合课后习题就是一个温故而知新的过程，加深对概念、几何意义的记忆和理解

2）复习资料

#李永乐《考研数学复习全书》

应该有不少人手上都有一本复习全书吧，这本在于知识点讲解全面且深浅难度适中，是按照真题方向考试大纲来的，覆盖面比较全，个人觉得全书系列这一本就足够（基础较好的可选择李正元复习全书）

#李永乐《线代辅导讲义》

这本书跟视频配套，如果选择了老李就是必入的，讲解的方法很好，基本上包含了考研所有题型。直接用可能会有些吃力，因为综合性很强，体系建立得很深，可以先听着基础课一章做一节简单的，到强化的时候就好很多

#汤家凤《线代辅导讲义》

汤重视基础的风格就不再赘述，讲义跟其风格一样清爽，通俗易懂，虽然有侧重点，做题思路非常清晰，但有些部分却侧重不清晰，显得比较拖沓，不过想拿来打基础已经够了

3）习题（最好都和对应老师的网课讲义配套）

#李永乐660，题量适中，作为打基础的根底的演练十分不错，虽然只有选择填空题应用程度不亚于大题

#李永乐330，对660进行补充，起到一个总结作用

#汤家凤1800，题目很基础，题量比较大，但二刷三刷多刷才有效果，适合练手感掌握基本的解题技巧

#PS：大家平时刷题过程感到吃力的话最好找个人帮你引导一下，一两道题啥的可以请教周围的大佬或者学长学姐。做题老是没思路、无从下手的就推荐你买个答疑猫的一对一答疑，一个及时的思路点拨比你死磕高效太多太多（亲测好用哈）。不过这些也都只是辅助工具和引导手段，我们要学习别人的解题切入点和思维发散方式

三、怎样复习

首先要明白线代有一大特点是：内容上综合性强，知识前后联系紧密，所以

1.基础阶段

1）在基础阶段跟着自己选择的老师的网课配合讲义把基本概念和定理梳理一遍

2）如果要看教材的话以定理为核心，上下文(包括例题)重点看看，做一做课后习题再做做简单的例题+660题+课本后面的章节练习题，课程配套的是复习全书基础篇。与向量、线性方程组有关的定理一定要看明白、掌握定理证明过程度。

3）有不明白的知识点一定要在基础阶段弄懂，做上标记，多问问老师多问问同学

2.强化阶段

1）线性代数的考试有比较多的计算，做1800训练计算能力，330和配套的辅导讲义收尾查漏补缺

2）线代的题目也比较灵活，所以在做题的时候也要花一点时间在一题多解上，不要背一个孤立的法则，把定理公式联系起来增强知识储备形成知识体系

3）善用错题本，1800的题多但解析比较少，可能看答案也不是很明白步骤；660又需要在第一轮基础复习后加强巩固，里面不乏新题，遇到不会做的题和错题不要过于纠结，错题也不要马上看解析，先记录下来适当放一放，过两天再配合网课讲义和答案看看解析，能不能理解这道题考察的知识点

4）接上条，如果已经跟着网课视频讲义和题目解析回顾了知识点还是没懂答案怎么来的，这就回到我们前面说的有不懂的知识点多问问老师和同学。

但考虑到同学也不是天天都有空，有空也不是什么都会做；找老师也怕被不负责任的人骗，如果不想去大机构（比如某某方）花10分的钱得到3分服务的同学可以考虑找线上答疑老师，我当时是跟着答疑猫的答疑老师去分析和总结归纳我的错题本，他告诉我在解决一道问题时要重视解题的思维方法和能力，不是说要死磕难题和偏题，而是要总结和掌握错题里面的出题规律，这样做题速度和质量也就提高了，在这里也分享给大家这个窍门

3.冲刺阶段

冲刺阶段其实就是大量刷题，但也不是盲目刷题，秉着先把真题过一遍再做模拟题的顺序刷题，真题和模拟题也没有专门分线代部分这个阶段也不适合分part，个人觉得就完整地做完一整套就好

李永乐历年真题精解+《数学决胜冲刺6套卷》可以做做，再打开李永乐复习全书温习一下，做做总结

以上~

希望能够帮到大家呀，觉得有用麻烦给我一个赞叭