树上倍增的写法和应用（详细讲解，新手秒懂）

        最近做了一些树上的练习题，发现倍增真的是一种处理树上问题的神奇、方便的方法。
我以前一直打树链剖分打得多，但是学了倍增之后就再也不想打树链剖分了（当然有些题目不得不打）。
倍增比起树链剖分，代码短，容易查错，时空复杂度也优很多（nlogn），只是功能有些欠缺。

倍增的思想是二进制。

        首先开一个n×logn的数组，比如fa[n][logn],其中fa[i][j]表示i节点的第2^j个父亲是谁。

然后，我们会发现有这么一个性质：

                       fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]

        用文字叙述为：i的第2^j个父亲 是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲。

        这是不是很神奇？这样，本来我们求i的第k个父亲的复杂度是O(k)，现在复杂度变成了O(logk)。

        我们知道，一个数的二进制形式中，如果右边数第i位上是1，表示这个数如果分解为若干个2的次幂的和的形式，其中有一项一定是2^(i-1)。举个例子：10的二进制表示为1010，它的第2位和第4位上是1，所以10=2^1+2^3。

        下面是求i的第k个父亲的代码段：

 
int father(int i,int k)
{
    for(int x=0;x<=int(log2(k));x++)
        if((1<<x)&k)    //(1<<x)&k可以判断k的二进制表示中，第(x-1)位上是否为1
            i=fa[i][x];     //把i往上提
    return i;
}
 

        这样讲应该很容易理解吧？

        我们可以通过一次dfs处理出fa数组：（dep[i]表示i的深度，这个可以一起处理出来，以后要用）

如果待处理的树有n个节点，那么最多有一个节点会有2^(logn)个父亲，所以我们的fa数组第二维开logn就够了。

这里用max0表示logn。初始化fa为0，若fa[i][j]=0表示i没有第2^j个父亲。

 
void dfs(int x)
{
    for(int i=1;i<=max0;i++)
        if(fa[x][i-1])   //在dfs(x)之前，x的父辈们的fa数组都已经计算完毕，所以可以用来计算x
            fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
        else break;    //如果x已经没有第2^(i-1)个父亲了，那么也不会有更远的父亲，直接break
    for(/*每一个与x相连的节点i*/)
        if(i!=fa[x][0])     //如果i不是x的父亲就是x的儿子
        {
            fa[i][0]=x;       //记录儿子的第一个父亲是x
            dep[i]=dep[x]+1;      //处理深度
            dfs(i);
        }
}
 

         这样，我们在nlogn的时间内可以通过一遍dfs处理出这棵树的相关信息。然后就可以在logn的时间内完成一些操作。

        倍增的应用中，最基础的应该就是求LCA(最近公共祖先)，时间复杂度是logn。

        对于求u、v的LCA，我们可以先把u、v用倍增法把深度大的提到和另一个深度相同。如果此时u、v已经相等了，表示原来u、v就在一条树链上，直接返回此时的结果。

        如果此时u、v深度相同但不等，则证明他们的lca在更“浅”的地方，此时需要把u、v一起用倍增法上提到他们的父亲相等。为啥是提到父亲相等呢？因为倍增法是一次上提很多，所以有可能提“过”了，如果是判断他们本身作为循环终止条件，就无法判断是否提得过多了，所以要判断他们父亲是否相等。不懂的可以详见代码：

 
int LCA(int u,int v)
{
    if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);  //我们默认u的深度一开始大于v，那么如果u的深度小就交换u和v
    int delta=dep[u]-dep[v];    //计算深度差
    for(int x=0;x<=max0;x++)    //此循环用于提到深度相同。
        if((1<<x)&delta)
            u=fa[u][x];
    if(u==v)return u;
    for(int x=max0;x>=0;x--)     //注意！此处循环必须是从大到小!因为我们应该越提越“精确”，
        if(fa[u][x]!=fa[v][x])   //如果从小到大的话就有可能无法提到正确位置，自己可以多想一下
        {
            u=fa[u][x];
            v=fa[v][x];
        }
    return fa[u][0];    //此时u、v的第一个父亲就是LCA。
}
 

        

        倍增还可以有很多变化，这让倍增法可以优更多的变化。比如用data[i][j]记录i到他的第2^j个父亲的路径长度，就可以边求LCA边求出两点距离，因为data[i][j]满足倍增的递推式：data[i][j]=data[i][j-1]+data[fa[i][j-1]][j-1]。或者用maxlen[i][j]记录i到第2^j个父亲的路径上最长边的边权，它满足maxlen[i][j]=max{maxlen[i][j-1],maxlen[fa[i][j-1]][j-1]}，这样就可以快速求出两点路径上最长边的边权……

        总之，倍增是一种较为基础的处理树的方式，一定要熟练掌握，可以打几个模板题先做做，然后找一些经典的倍增习题。