数学向量基本知识_向量基础知识

数学向量基本知识

1.向量相关定义

2.向量的线性运算

3.向量积与数量积

  向量积与数量积的区别

3.1 向量积

  向量积可以被定义为：

  模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

  方向： a向量与b向量的向量积c的方向与这两个向量所在平面垂直，遵守右手定则（右手法则：用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。 ）

  公式： 设a=(x₁,y₁,z₁),b=(x₁₂,y₂,z₂)，i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的单位向量，则axb等于如下（借助三阶行列式运算，就是这样定义的）。从结果我们看出还保留向量的基本单位i、j、k，所以结果也是一个向量，既有大小，又有方向：axb=(y₁z₂-z₁y₂,z₁x₂-x₁z₂,x₁y₂-y₁x₂)

  二维向量叉乘公式a（x1，y1），b（x2，y2），则a×b＝（x1y2－x2y1），不需要证明的就是定义的运算。
  三维叉乘是行列式运算，也是叉积的定义，你把第三维看做0代入就行了。

  几何意义：

 以向量a和向量b构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

3.1 数量积

   向量点乘（内积）：

   点乘（Dot Product）的结果是点积，又称数量积或标量积（Scalar Product）,结果就是个数，把方向给抹去了。向量是有两个属性的：大小和方向，点乘的结果就是得到一个标量。相等于降维了。

    定义为：对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积。

    从这个结果来看，就知道没有方向属性，只是数字之间的运行，最终结果也是数字。

    从几何角度看，点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。点乘的结果表示向量A在向量B方向上的投影与向量B模的的乘积

   点乘的意义：

• 两个向量在一个向量方向的共同积累的结果，但是这种结果只保留的大小属性，抹去了方向这个属性；
• 同时反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似；
• 基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为：

   大于0.则方向基本相同，夹角在0°到90°之间

   0则正交，相互垂直

   小于0则方向基本相反，夹角在90°到180°之间

   垂直和正交的区别：

   法向量与平面

   法向量：垂直于平面的向量称为该平面的法向量(normal vector)

   假设平面上的一个定点为，平面上的任何其它点为，平面的法向量为：

   向量 位于平面上，且与法向量 垂直，因此：

   R3中平面的一般形式即：

   总结：法向量和平面上的一个定点，可以定义该平面