经典机器学习算法之SVM算法

本篇文章旨在让完全不懂的小伙伴对该算法有一个初步认识与理解，只适用于小白，如果想深入了解，可以参考本文的参考文章

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一、算法介绍

1、SVM简介

SVM算法，全称支持向量机（Support Vector Machine，SVM）算法，他是一种强大的监督学习算法，广泛应用于分类和回归问题。它的独特之处在于其优化目标是找到一个能够最大化分类边界（或回归函数）与最近训练样本之间的间隔的超平面。
简单来说，就是寻找一个最优的决策边界(超平面)，这个边界距离两个类别的最近的样本最远，使得间距最大化。

2、支持向量

样本中距离超平面最近的一些点，叫做支持向量，由于较远的点与不影响超平面的建立，其主要通过支持向量建立而来。如下图所示：

二、算法分析

下面分两种不同的情况来介绍此算法

1、线性可分情况

① 线性可分的理解

线性可分就是可以用一个线性函数把两类样本分开，比如二维空间中的直线、三维空间中的平面以及高维空间中的线性函数。用二维空间举例，如下图就是一个线性可分的两类样本(蓝色球和红色球)，我们可以找到一条直线，将两个类别分开：

② 找到最优的超平面

理论上，我们可以找到很多可以将两类分开的超平面：

那么如何选择一条最合适的超平面，就是svm算法要解决的问题：

• 求出数据集中每个样本$x^{(n)}$到超平面的距离，其中${\gamma }^{(n)}$为整个数据集所有样本到超平面的距离：

• 定义间隔$\gamma$整个数据集所有样本到超平面的最短距离：

• 根据最小距离最大的原则，寻找这个超平面的问题就可以转换成一个数学问题：在保证${\gamma }^{(n)}$≥ $\gamma$的前提下，求$\gamma$的最大值：

• 利用拉格朗日乘数法，可以求得这个超平面：

2、线性不可分情况

① 线性不可分的理解

在现实世界的问题中，样本往往不是完全线性可分的，简单来说就是你一个数据集不可以通过一个线性分类器（直线、平面）来实现分类，例如如下图所示的情况，我们从二维空间，很难找到一个超平面，能将下图的红色方框和绿色小球分开

② 核函数

作用：
往往在低维空间中，样本是线性不可分问题，但在高维空间中，样本可能是线性可分的。根据这一思想，我们就可提升空间的维度。核函数可以将数据映射到一个更高维的特征空间，使得在这个新的空间中，数据可能变得线性可分。这样，我们就可以在这个新的空间中构建一个超平面来进行分类。

理解：
在低维空间中，我们有原始特征向量x和y。在高维空间中，我们用ϕ(x)和ϕ(y)表示高维空间的特征向量。
那么，高维空间中的决策函数可表示为：

$f(x)=w\cdot \varphi (x)+b$

如果要显示的计算高维特征向量ϕ(x)，会因复杂的计算导致计算效率变低，所以引入核函数K，它接受两个输入，并计算返回它们之间的相似度，目的是通过计算数据点之间的相似度来解决非线性分类问题，而无需显式地计算高维特征向量ϕ(x)。

$K(x,y)=\varphi (x{)}^T\varphi (y)$

$f(x)=w\cdot \varphi (x)+b=w\cdot (K(x,x_1),K(x,x_2),...,K(x,x_n))+b$

其中，$x_1,x_2,...,x_n$是训练集中的样本点。

所以，决策函数为(以二分类为例)：

$f(x)=sign(\sum ({\alpha }_i\ast y_i\ast K(x_i,x))+b)$

其中：

• ${\alpha }_i$是支持向量的拉格朗日乘子（ Lagrange multipliers），用于确定支持向量的权重；

• $y_i$是对应于支持向量的类别标签；

• $x_i$是支持向量；

• $b$是偏置项；

• $K(x_i,x)$是核函数，用于计算支持向量和新数据点x之间的相似度。

这样一来我们就避开了直接在高维空间中进行计算，并且可以用线性可分的优化思路去解决问题。

常用核函数分类：

三、应用分析

1、适用场景

通过上述介绍可知，SVM适用于线性可分问题和非线性可分问题，可以应用在许多实际场景中，以下是几个具体的实际应用场景，以及相应的数据说明：

1. 文本分类：SVM可用于将文本数据进行分类，例如将电子邮件分类为垃圾邮件或非垃圾邮件。数据集可以包含已标记的电子邮件，每个电子邮件都有一些特征（如词频、词向量等）和相应的标签（垃圾邮件或非垃圾邮件）。

   数据示例：

   • 特征：电子邮件的词频向量，每个维度表示一个词在邮件中的出现次数。
   • 标签：垃圾邮件（1）或非垃圾邮件（-1）。

2. 图像分类：SVM可用于图像分类任务，例如将图像分为不同的类别，如动物、车辆、建筑等。数据集可以包含图像样本及其相应的特征向量，这些特征向量可以是从图像中提取的特征，如颜色直方图、纹理特征等。

   数据示例：

   • 特征：从图像中提取的特征向量，如颜色直方图、纹理特征等。
   • 标签：图像所属的类别，如动物（1）、车辆（2）、建筑（3）等。

3. 生物医学数据分析：SVM在生物医学领域中也有广泛应用，例如基因表达数据的分类和预测。数据集可以包含基因表达数据样本及其对应的分类标签（如肿瘤类型）。基因表达数据通常以基因表达水平的数值表示，可以是来自基因芯片或测序技术的数据。

   数据示例：

   • 特征：基因表达水平的数值，表示基因在样本中的表达量。
   • 标签：样本所属的肿瘤类型，如乳腺癌（1）、肺癌（2）等。

4. 金融风险评估：SVM可用于金融领域中的风险评估，例如将信贷申请进行分类，判断是否接受或拒绝申请。数据集可以包含申请人的各种特征，如收入、信用历史、债务情况等，以及相应的标签（接受或拒绝）。

   数据示例：

   • 特征：申请人的各种特征，如收入、信用历史、债务情况等。
   • 标签：申请的结果，接受（1）或拒绝（-1）。
     这些是仅举几个例子，实际上SVM在许多领域中都有应用，包括图像处理、自然语言处理、生物信息学、推荐系统等。根据具体的应用领域和问题，数据的特征和标签会有所不同，但SVM的基本原理和方法都可以应用于这些领域。

2、不适用场景

虽然SVM是一种强大的分类算法，但也存在一些情况下不适用的场景。以下是一些常见的情况：

1. 大规模数据集：当数据集非常大时，SVM的计算复杂度会随着数据量的增加而显著增加。由于SVM需要解决二次规划问题，对于大规模数据集，计算时间和内存要求可能会非常高，导致训练时间过长甚至无法完成。
2. 高维稀疏数据：当数据集的特征维度非常高，并且大部分特征都是稀疏的（即大部分特征值为零）时，SVM的性能可能下降。由于高维稀疏数据的特点，SVM的计算复杂度会进一步增加，并且可能导致模型过拟合。
3. 数据集包含噪声和重叠样本：当数据集中存在大量噪声或类别重叠的样本时，SVM的分类性能可能会下降。SVM的目标是找到一个最优的超平面，将不同类别的样本分开，但如果存在噪声或类别重叠，可能会导致决策边界不稳定或错误分类。
4. 快速增长的数据集：如果数据集在训练过程中不断增长，SVM无法直接适应新数据的增加。每当新数据加入时，通常需要重新训练整个模型，这在大规模数据集上是低效的。
5. 类别不平衡问题：当数据集中不同类别的样本数量严重不平衡时，SVM的表现可能受到影响。由于SVM追求最大间隔的目标，可能对样本数量较少的类别给予较少的关注，导致分类器对少数类别的预测效果较差。
   总的来说，SVM在处理大规模数据集、高维稀疏数据、噪声和重叠样本、快速增长的数据集以及类别不平衡问题时可能不适用。在这些情况下，其他算法或技术可能更适合处理这些问题。

3、优缺点

优点： SVM在处理高维数据和样本量较小的情况下表现良好，具有较强的泛化能力；通过使用核函数，SVM可以解决非线性分类问题；通过间隔最大化，SVM对噪声数据具有较好的鲁棒性。
缺点： SVM在处理大规模数据时计算复杂度较高；对于大规模数据集，训练时间较长；SVM对于参数的选择和核函数的选择比较敏感，需要进行调优。

参考

[1] 支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）
[2] 详解支持向量机（Support Vector Machines, SVM）
[3] svm算法 最通俗易懂讲解
[4] 机器学习算法（一）SVM