Cholesky分解_厄米矩阵分解

介绍的是Cholesky分解，这个方法是只适用于厄米特矩阵、正定矩阵定义的矩阵
算法的目标
假设A是一个n阶的厄米特正定矩阵
Cholesky分解的目标是将A变成：

$$A=LL^T$$
L是一个下三角矩阵

推导：
因为A是一个对称的矩阵，A为：

$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&A_{21}^T \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}$$
此时 $A_{21}$是一个n-1列向量； $A_{21}^T$是一个n-1行向量
此时对于下三角矩阵L：
$$L=\begin{bmatrix}l_{11}&0 \\ L_{21} & L_{22}\end{bmatrix}$$
则：
$$L^T=\begin{bmatrix}l_{11}&L_{21}^T \\ 0 & L_{22}^T\end{bmatrix}$$
由 $A=LL^T$，得到：
$$\begin{bmatrix}a_{11}&A_{21}^T \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}l_{11}^2&l_{11}L_{21}^T \\ l_{11}L_{21} & L_{21}L_{21}^T+L_{22}L_{22}^T\end{bmatrix}$$
则对于 $l_{11},L_{21},L_{22}$的求解为：
$$l_{11} = \sqrt{a_{11}}$$
$$L_{21} = \frac{A_{21}}{l_{11}}\quad$$
$$L_{22}L_{22}^T = A_{22}-L_{21}L_{21}^T$$
前面的两个的求解很简单，对于第三个求解的过程
由于 $A_{22}$是n-1*n-1维的；L_{21}是[n-1,1]的维度。
因此 $A_{22}^{'}=A_{22}-L_{21}L_{21}^T$是[n-1,n-1]维，则对应的是 $A_{22}^T = L_{22}L_{22}^T$也是一个Cholesky分解。递归求解。