微积分-微分应用3（导数如何影响图形的形状）

导数 $f^{\prime }$ 对函数 $f$ 的揭示

要了解导数 $f^{\prime }$ 如何告诉我们一个函数是增加还是减少，请看图。似乎 $f$ 在 $f^{\prime }(x)>0$ 时增加，而在 $f^{\prime }(x)<0$ 时减少。为了证明这种情况总是成立的，我们使用平均值定理。

增加/减少测试

(a) 如果 $f^{\prime }(x)>0$ 在某区间上，则 $f$ 在该区间上是增加的。

(b) 如果 $f^{\prime }(x)<0$ 在某区间上，则 $f$ 在该区间上是减少的。

证明

(a) 设 $x_1$ 和 $x_2$ 是区间内任意两个数，且 $x_1<x_2$。根据增加函数的定义，我们必须证明 $f(x_1)<f(x_2)$。

由于我们已知 $f^{\prime }(x)>0$，所以我们知道 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上是可导的。因此，根据平均值定理，存在一个 $c$ 介于 $x_1$ 和 $x_2$ 之间，使得

$$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$$

现在，由于假设 $f^{\prime }(c)>0$ 且 $x_2-x_1>0$ 因为 $x_1<x_2$。因此，方程的右侧为正，因此

$$f(x_2)-f(x_1)>0或f(x_1)<f(x_2)$$

这表明 $f$ 是增加的。

(b) 部分的证明类似。

例1 找出函数 ( f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 ) 的增区间和减区间。

解答

首先对 $f$ 求导：

$$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x-2)(x+1)$$

要使用增加/减少测试，我们需要知道 $f^{\prime }(x)>0$ 和 $f^{\prime }(x)<0$ 的区间。为了解这些不等式，我们首先找出 $f^{\prime }(x)=0$ 的点，即 $x=0,2,-1$。这些是 $f$ 的临界点，它们将定义域分成四个区间（见数轴）。在每个区间内， $f^{\prime }(x)$ 必须总是正或总是负。我们可以通过 $f^{\prime }(x)$ 的三个因子 $12x,x-2,x+1$ 的符号来确定每个区间的情况，如下表所示。正号表示表达式为正，负号表示表达式为负。图表的最后一列根据增加/减少测试给出了结论。例如， $0<x<2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，所以 $f$ 在 $(0,2)$ 上减少。（同样也可以说 $f$ 在闭区间 $[0,2]$ 上减少。）

$f$ 的图形验证了表中的信息。

局部极值

回忆之前的内容，如果 $f$ 在 $c$ 处有局部最大值或最小值，那么 $c$ 必须是 $f$ 的一个临界点（根据费马定理），但并非每个临界点都能产生最大值或最小值。因此，我们需要一个测试来告诉我们 $f$ 在某个临界点是否有局部最大值或最小值。

一阶导数测试

假设 $c$ 是连续函数 $f$ 的一个临界点。

(a) 如果 $f^{\prime }$ 在 $c$ 处从正变为负，那么 $f$ 在 $c$ 处有局部最大值。

(b) 如果 $f^{\prime }$ 在 $c$ 处从负变为正，那么 $f$ 在 $c$ 处有局部最小值。

(c) 如果 $f^{\prime }$ 在 $c$ 的左侧和右侧均为正，或在 $c$ 的左侧和右侧均为负，那么 $f$ 在 $c$ 处没有局部最大值或最小值。

一阶导数测试是增加/减少测试的结果。例如，在(a)部分，由于 $f^{\prime }(x)$ 的符号在 $c$ 处从正变为负，所以 $f$ 在 $c$ 的左侧增加，在 $c$ 的右侧减少。因此， $f$ 在 $c$ 处有局部最大值。

通过可视化图形，很容易记住一阶导数测试。

例2 找出例1中函数 ( f ) 的局部最小值和最大值。

解答

从例1的解答中的图表中可以看出， $f^{\prime }(x)$ 在 $-1$ 处从负变为正，所以根据一阶导数测试， $f(-1)=0$ 是局部最小值。同样， $f^{\prime }$ 在2处从负变为正，所以 $f(2)=-27$ 也是局部最小值。如前所述， $f(0)=5$ 是局部最大值，因为 $f^{\prime }(x)$ 在$0$处从正变为负。

例3 找出函数 ( g(x) = x + 2 \sin x ) 在 ( 0 \leq x \leq 2\pi ) 内的局部最大值和最小值。

解答

如例1所示，我们首先找出临界点。导数为

$$g^{\prime }(x)=1+2\cos x$$

因此，当 $\cos x=-\frac{1}{2}$ 时， $g^{\prime }(x)=0$。此方程的解为 $\frac{2\pi }{3}$ 和 $\frac{4\pi }{3}$。因为 $g$ 在整个定义域上可导，所以唯一的临界点是 $\frac{2\pi }{3}$ 和 $\frac{4\pi }{3}$。我们根据临界点将定义域划分为区间。在每个区间内， $g^{\prime }(x)$ 要么始终为正，要么始终为负，因此我们分析如下图表：

因为 $g^{\prime }(x)$ 在 $\frac{2\pi }{3}$ 处从正变为负，所以根据一阶导数测试，在 $\frac{2\pi }{3}$ 处有局部最大值，其值为

$$g\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3}+2\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}\approx 3.83$$

同样， $g^{\prime }(x)$ 在 $\frac{4\pi }{3}$ 处从负变为正，所以在 $\frac{4\pi }{3}$ 处有局部最小值，其值为

$$g\left(\frac{4\pi }{3}\right)=\frac{4\pi }{3}+2\sin \frac{4\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}+2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\approx 2.46$$

$g$ 的图形支持了我们的结论。

导数 $f^{\prime \prime }$ 对函数 $f$ 的揭示

图显示了两个在区间 $(a,b)$ 上增加的函数的图像。两条曲线都从点 $A$ 延伸到点 $B$，但由于它们的弯曲方向不同，图像看起来有所不同。我们如何区分这两种行为类型？

在下图中，这些曲线在几个点上画出了切线。在(a)中，曲线在切线之上，称为在 $(a,b)$ 上向上凹。在(b)中，曲线在切线之下，称为在 $(a,b)$ 上向下凹。

定义

如果函数 $f$ 的图像在区间 $I$ 上的所有切线之上，则称 $f$ 在 $I$ 上是向上凹的。如果函数 $f$ 的图像在 $I$ 上的所有切线之下，则称 $f$ 在 $I$ 上是向下凹的。

让我们看看二阶导数如何帮助确定凹性的区间。观察图(a)，可以看到从左到右，切线的斜率增加。这意味着导数 $f^{\prime }$ 是增加的函数，因此它的导数 $f^{\prime \prime }$ 为正。同样，在图(b)中，切线的斜率从左到右减小，所以 $f^{\prime }$ 减小，因此 $f^{\prime \prime }$ 为负。这个推理可以反过来进行，并表明以下定理是正确的。

凹性测试

(a) 如果 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 在区间 $I$ 上的所有 $x$，则函数 $f$ 在 $I$ 上是向上凹的。

(b) 如果 $f^{\prime \prime }(x)<0$ 在区间 $I$ 上的所有 $x$，则函数 $f$ 在 $I$ 上是向下凹的。

例4 图显示了在养蜂场饲养的塞浦路斯蜜蜂的种群图。种群增加率随时间如何变化？这种增加率何时最高？在什么区间内 ( P ) 是向上凹的还是向下凹的？

解答

通过观察曲线的斜率随时间 $t$ 的变化，可以看出，最初种群的增加率非常小，然后变大，直到在大约 $t=12$ 周时达到最大值，随后随着种群开始趋于平稳而减小。当种群接近其最大值约$75,000$（称为承载能力）时，增加率 $P^{\prime }(t)$ 逐渐趋近于$0$。曲线在 $(0,12)$ 上是向上凹的，在 $(12,18)$ 上是向下凹的。

在例4中，种群曲线在大约 $(12,38,000)$ 点从向上凹变为向下凹。这个点称为曲线的拐点。这个点的重要性在于此处种群增加率达到最大值。一般而言，拐点是曲线改变凹性方向的点。

定义

曲线 $y=f(x)$ 上的点 $P$ 称为拐点，如果函数 $f$ 在该点是连续的，并且曲线在 $P$ 处从向上凹变为向下凹或从向下凹变为向上凹。

注意，如果曲线在拐点处有切线，那么曲线在该点穿过其切线。根据凹性测试，二阶导数改变符号的任一点处都有拐点。

例5 画出满足以下条件的函数 $f$ 的可能图像：

(i) $f(0)=0$, $f(2)=3$, $f(4)=6$, $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(4)=0$

(ii) $f^{\prime }(x)>0$ 当 $0<x<4$，$f^{\prime }(x)<0$ 当 $x<0$ 和 $x>4$

(iii) $f^{\prime \prime }(x)>0$ 当 $x<2$，$f^{\prime \prime }(x)<0$ 当 $x>2$

解答

条件 (i) 告诉我们，图像在点 $(0,0)$ 和 $(4,6)$ 处有水平切线。条件 (ii) 表示 $f$ 在区间 $(0,4)$ 上增加，在区间 $(-\infty ,0)$ 和 $(4,\infty )$ 上减少。根据增加/减少测试，$f(0)=0$ 是局部最小值，而 $f(4)=6$ 是局部最大值。

条件 (iii) 表示图像在区间 $(-\infty ,2)$ 上是向上凹的，在区间 $(2,\infty )$ 上是向下凹的。由于曲线在 $x=2$ 处从向上凹变为向下凹，因此点 $(2,3)$ 是一个拐点。

我们利用这些信息来画出 $f$ 的图像。注意，我们使曲线在 $x<2$ 时向上弯曲，而在 $x>2$ 时向下弯曲。

二阶导数测试

二阶导数的另一应用是以下测试，用于识别局部最大值和最小值。它是凹性测试的结果，并作为一阶导数测试的替代方法。

二阶导数测试

假设 $f^{\prime \prime }$ 在 $c$ 附近连续。

(a) 如果 $f^{\prime }(c)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(c)>0$，则 $f$ 在 $c$ 处有局部最小值。

(b) 如果 $f^{\prime }(c)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(c)<0$，则 $f$ 在 $c$ 处有局部最大值。

示例 6 讨论曲线 $y=x^4-4x^3$ 的凹凸性、拐点以及局部极值。利用这些信息来绘制曲线。

解答 如果 $f(x)=x^4-4x^3$，那么

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$$

$$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$$

为了找到临界点，我们设 $f^{\prime }(x)=0$ 并得到 $x=0$ 和 $x=3$。 （注意 $f^{\prime }$ 是一个多项式，因此在任何地方都是定义的。）使用二阶导数测试，我们在这些临界点上求 $f^{\prime \prime }$ 的值：

$$f^{\prime \prime }(0)=0f^{\prime \prime }(3)=36>0$$

由于 $f^{\prime \prime }(3)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(3)>0$，$f(3)=-27$ 是一个局部极小值。 [实际上，$f^{\prime }$ 的表达式显示 $f$ 在 3 的左边减小，在 3 的右边增加。]

由于 $f^{\prime \prime }(0)=0$，二阶导数测试对该临界点没有提供任何信息。但由于 $f^{\prime }(x)<0$ 在 $x<0$ 以及 $0<x<3$ 的区间内，并且 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 当 $x=0$ 或 $2$，我们将实数轴划分为以这些数为端点的区间并完成下表：

点 $(0,0)$ 是一个拐点，因为曲线在那里从凹向上变为凹向下。点 $(2,-16)$ 也是一个拐点，因为曲线在那里从凹向下变为凹向上。

利用局部极小值、凹凸性区间以及拐点，我们绘制图中的曲线。

注意

当 $f^{\prime \prime }(c)=0$ 时，二阶导数测试是不确定的。换句话说，在这种情况下可能存在极大值、极小值或既没有极大值也没有极小值（如示例 6）。这也适用于 $f^{\prime \prime }(c)$ 不存在的情况。在这种情况下，必须使用一阶导数测试。事实上，当两种测试都适用时，一阶导数测试通常是更容易使用的。

示例 7 绘制函数 $f(x)=x^{2/3}(6-x{)}^{1/3}$ 的图像

解答 计算前两个导数得：

$$f^{\prime }(x)=\frac{4-x}{x^{1/3}(6-x{)}^{2/3}}$$
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{-8}{x^{4/3}(6-x{)}^{5/3}}$$

由于 $f^{\prime }(x)=0$ 当 $x=4$ 并且 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 或 $x=6$ 不存在，临界点为 $0,4,6$。

为了找到局部极值，我们使用一阶导数测试。由于 $f^{\prime }$ 从负变为正在 $0$ 处，$f(0)=0$ 是局部极小值。由于 $f^{\prime }$ 从正变为负在 $4$ 处，$f(4)=2^{5/3}$ 是局部极大值。由于 $f^{\prime }$ 的符号在 $6$ 处不变，因此那里没有极小值或极大值。 （可以在 4 处使用二阶导数测试，但不能在 $0$ 或 $6$ 处使用，因为 $f^{\prime \prime }$ 在这些数上不存在。）

通过查看 $f^{\prime \prime }(x)$ 的表达式并注意到 $x^{4/3}\ge 0$ 对于所有 $x$，我们有 $f^{\prime \prime }(x)<0$ 在 $x<0$ 和 $0<x<6$ 以及 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 在 $x>6$。因此，$f$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,6)$ 是凹向下的，并且在 $(6,\infty )$ 是凹向上的，唯一的拐点是 $(6,0)$。绘制图像。注意曲线在 $(0,0)$ 和 $(6,0)$ 处具有垂直切线，因为 $|f^{\prime }(x)|\to \infty$ 当 $x\to 0$ 并且 $x\to 6$。

练习

1.假设 $f\prime \prime \prime$ 是连续的，并且 $f\prime (c)=f\prime \prime (c)=0$ ，但 $f\prime \prime \prime (c)>0$ 。$f$ 在 $c$ 点处是否有局部极大值或极小值？$f$ 在 $c$ 点处是否有拐点？

2.对于哪些 $c$ 的值，函数 $f(x)=cx+\frac{1}{x^2+3}$ 在 $(-\infty ,\infty )$ 上是递增的？