差分与前缀和_什么是差分和前缀和的关系

差分与前缀和是一对互逆的操作，常常用于处理区间问题，差分法是解决区间加减问题，前缀和是解决区间求和问题的常用办法。

差分法

差分法的应用主要是用于处理区间问题。当某一个数组要在很多不确定的区间，加上相同的一个数。我们如果每个都进行加法操作的话，那么复杂度 O(nm) 是平方阶的，非常消耗时间。

如果我们采用差分法，将数组拆分，构造出一个新的拆分数组，通过对数组区间的端点进行加减操作，最后将数组和并就能完成原来的操作。

差分法的特点：

• 将对于区间的加减操作转化为对于端点的操作；
• 时间复杂度为 O(n)；
• 用于维护区间的增减但不能维护乘除；
• 差分后的序列比原来的数组序列多一个数。

差分算法解题的基本思路：b[i]=a[i]-a[i-1]，a[0]=0

•  b[1]=a[1]；
• 从第 2 项到 n 项，利用 b[i]=a[i]-a[i-1]差分式；
•  对于区间端点操作加减；
• 差分还原(前缀和)。
• 注意是从1开始，从0开始还有讨论i=0 的情况，使用1的话 b[1]=a[1]-a[0]=a[1]-0;

首先假设有一个数组： a[]={1 2 3 4 5 7 2} ；  差分后： b[]={1 1 1 1 1 2 -5}

一般应用场景： 让你对区间 [l,r] 加减操作 N 次             

如：从第二个元素到第五个元素每个+3  ；从第二个元素到第四个元素每个-2  ；从第一个元素到第三个元素每个+1 ；....

先演示前三个：

对于每个 [l,r] 区间的加减操作都转化为对端点 l,r+1 的操作

从第二个元素到第五个元素每个+3： 转化为：

[l]+3 并且 [r+1]-3 ，即第2个+3；第5+1个元素-3 

b[]是由a[]根据公式 d[i]=a[i]-a[i-1] ，a[0]= 0 .构造的新数列（差分数列)
b[]：1  1  1  1  1  2 -5 
 现: 1  4  1  1  1 -1 -5 (操作1)

（复原操作）

然后按照 d和a数列的关系，a[i]=a[i-1]+d[i],a[i]=d[1]+d[2]+....+d[i]可以得出改变后的a:1 5 6 7 8 7 2 

 跟原序列对比：     

1 2 3 4 5 7 2 
1 5 6 7 8 7 2

确实是都加上了 3。

 继续操作： 从第二个元素到第四个元素每个-2 转化为：

[l]+(-2) 并且 [r+1]-(-2) ，即第2个-2；第4+1个元素+2

操作1: 1 4 1 1 1 -1 -5 
  现 : 1 2 1 1 3 -1 -5 

然后根据上次