李宏毅机器学习笔记p3-p4_plt.get_cmap('jet')

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前言

经过上一篇章的学习，我们得知了有很多种深度学习，比如监督学习，无监督学习，强化学习等，监督学习算是深度学习的入门第一手，所以我们先学习监督学习中的回归

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一：Regression回归

定义：前期学习（通过很多正确的输入和输出——>找到一个函数function）,然后再输入特征x，输出一个结果。
步骤：
1.先选择模型
2.通过损失函数判断和结果的接近程度
3.通过梯度下降不断修正模型

1.线性模型

单个特征：
$$y=b+wx$$
多个特征：
$$y=b+\sum w_i{x}_i$$

x:各种特征；w:各个特征的权重； b:偏移量。
多个特征——>联系到向量和矩阵，可以方便计算。

2.损失函数

作用：通过损失函数来评判模型的好坏
损失函数有很多种，一般是用均方误差和交叉熵误差等。

均方误差
$$E=\frac{1}{2}\sum _k{(y_k-t_k)}^2$$
其中，$E$针对单个数据的损失函数，$y_k$表示神经网络的输出，$t_k$表示监督数据，k表示数据的维数。
交叉熵误差
$$E=-\sum _k{t}_k\log y_k$$
其中，$E$针对单个数据的损失函数，$y_k$表示神经网络的输出，$t_k$表示正确解标签，只有正确解标签处的值才为1，其他都为0.

在老师讲课过程中，主要以均方误差来表示损失函数。
例如：统计10组原始数据$(\hat{y}-f({x^n}_{cp}){)}^2$之和，和越小越好。
意思就是算出预测出来的值和真实的值的差越小越好。
$$L(f)=\sum _{n=1}^{10}{({\hat{y}}^n-f({x^n}_{cp}))}^2$$
$$f(x)=y$$
$$y=b+w{x}_{cp}$$
将上文的三个式子总和可得最终损失函数Loss function：
$$L(w,b)=\sum _{n=1}^{10}{({\hat{y}}^n-f(b+w{x_{cp}}^n))}^2$$
拓展：此处$f(x)=y$较为省略，更应该的是此处加一个激活函数，应更正为$f(x)=h(y)$

3.梯度下降

为了使损失函数最小，结果更优，我们需要不断调整参数$(w,b)$,这里我们就用到梯度下降的方法。
先从只有一个参数w入手，任何可微分的L都可以
$$w^{\ast }=\arg \underset{x}{\min }L(w)$$
1.随机选出一个初始的点w0；
2.然后再计算切线斜率$\frac{d\mathrm{L}}{d\mathrm{w}}{|}_{\mathrm{w}={\mathrm{w}}_0}$,然后大于0往左移动，小于零往右移动。
3.跨步距离——学习率$\eta$:事先定好的数值
4.移动：$-\eta \frac{d\mathrm{L}}{d\mathrm{w}}{|}_{\mathrm{w}={\mathrm{w}}_0}$
5.更新w0——>${\omega }_{n+1}={\omega }_n-\eta \frac{d\mathrm{L}}{d\mathrm{w}}{|}_{\mathrm{w}={\mathrm{w}}_0}$
6.重复234.直到找到最低点
但是找到的只能说找到局部最小值而不是全局最小值。

两个参数：
同理，只不过是把导数变成偏导数。
∇ L = [ ∂ L ∂ w ∂ L ∂ b ] g r a d i e n t \nabla L = {\left[ {

$$\begin{matrix}{} {\frac{ {\partial L}}{ {\partial w}}}\\ {\frac{ {\partial L}}{ {\partial b}}} \end{matrix}$$ } \right]_{gradient}} ∇L=[∂w∂L​∂b∂L​​]gradient​
可以想想一个山坡，然后向最低的方向滚，然后通过往偏导方向走，那肯定是数值下降最快的方向。

但找到局部最优解，不一定是全局最优解。
但如果是在线性模型中，那肯定是局部最优解就是全局最优解。

二、验证模型好坏

过拟合

当有很多个数据点的时候，去拟合这个函数值。一元N次线性模型一般较为强大。

但是我们可以看到，并不是次数越高，就拟合效果越好，有时候过于追求每个点的精度，反而丢失了全局，造成过拟合问题。

优化

1.模型的拆分

将四个线性模型合并到一个线性模型中，只需要将对应模型板块的$\delta$为1，不对应的为0，就可以避免混入其他线性模型中。
所以对于上文的线性拟合，如果知道其种类，把它分成三个线性模型，说不定可以得到更加精确的模型。

2.加入更多的参数，更多的input

设更多参数，加入更多input—>容易过拟合；
怎么办？
1.可以删掉相关性较小的input
2.加入正则化，重新定义我们的loss function

3.正则化

$$L=\sum _n{({\hat{y}}^n-(b+\sum w_i{x}_i))}^2+\lambda \sum {(w_i)}^2$$
加入$\lambda \sum {(w_i)}^2$说明期望w越小越好
w越小越好——>比较平滑的——>output对输入的变化是不太敏感的。比较稳定——>可以避免一些干扰项的影响
$\lambda$越大的时候，说明我们越考虑函数的平滑。但也不能太平滑，所以我们需要不断的调整$\lambda$

三、代码的学习

我于是对代码进行了研读。
用numpy的np.asarray来使列表变为数组。
我能理解lr的不断变动或许效果不是很好
所以将lr_b和lr_w分开
但我不大理解学习率用这种方式特化：
lr_b = lr_b + b_grad ** 2
lr_w = lr_w + w_grad ** 2
我想提前了解一下这种特化学习率的方法。
后经队长的指导，我了解到了原来是Adagrad方面的知识。
如果学习率固定，那针对不同的地方，学习率可能作用效果不同。
大致就是：
随着迭代次数增加，让学习率变小
初始迭代时，使用较大的学习率加速下降
迭代几次后，减小学习率防止振荡和越过
当然adagrad的相关知识之后也会学到，但是通过代码的调整，我提前了解到了adagrad的作用。在此感谢队长和相关伙伴的指导。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import time
from pylab import mpl

# matplotlib没有中文字体，动态解决
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题

#x_data正确输入数据 y_data 正确输出数据
x_data = [338., 333., 328., 207., 226., 25., 179., 60., 208., 606.]
y_data = [640., 633., 619., 393., 428., 27., 193., 66., 226., 1591.]
#用numpy将列表转化为数组
x_d = np.asarray(x_data)
y_d = np.asarray(y_data)


x = np.arange(-200, -100, 1)
y = np.arange(-5, 5, 0.1)
Z = np.zeros((len(x), len(y)))
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 求损失函数loss
for i in range(len(x)):
    for j in range(len(y)):
        b = x[i]
        w = y[j]
        Z[j][i] = 0  # meshgrid吐出结果：y为行，x为列
        for n in range(len(x_data)):
            Z[j][i] += (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2
        Z[j][i] /= len(x_data)

# 线性回归
b = -120
w = -4
lr = 1
#迭代次数
iteration = 100000

b_history = [b]
w_history = [w]

#把w和b的学习率分来
lr_b = 0
lr_w = 0

start = time.time()
for i in range(iteration):
    b_grad = 0.0
    w_grad = 0.0
    for n in range(len(x_data)):
        b_grad = b_grad - 2.0 * (y_data[n] - n - w * x_data[n]) * 1.0
        w_grad = w_grad - 2.0 * (y_data[n] - n - w * x_data[n]) * x_data[n]
#不理解？？？lr_b的变动
    lr_b = lr_b + b_grad ** 2
    lr_w = lr_w + w_grad ** 2
    # update param
    b -= lr / np.sqrt(lr_b) * b_grad
    w -= lr / np.sqrt(lr_w) * w_grad

    b_history.append(b)
    w_history.append(w)


# plot the figure
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet'))  # 填充等高线
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange")
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("线性回归")

plt.show()


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总结

提示：今天主要学习了回归里面的线性模型，损失函数，还有梯度下降。还学到了过拟合以及防止过拟合的正则化。但其讲的时候省略了激活函数这一块知识。还研读了一下其代码，在他人的帮助下提前对adagrqd对知识有了一定的了解。