稀疏重构算法详解

引入

  在室内环境中, 多径信号具有天然的空间稀疏性, 根据压缩感知理论可知, 如果信号是可压缩的或者在某个变换域是稀疏的, 可以采用一个随机测量矩阵将高维信号映射到一个低维空间上, 通过求解优化问题, 以很高的概率重构出原始信号。
  因此，在该理论框架下, 可以通过特定的空间网格划分构造完备的稀疏表达基, 对接收阵列信号进行稀疏化表示, 再利用优化方法得到稀疏空间谱, 这样可以将多径信号的 AOA 估计问题转换为空间谱的稀䟽重构问题。

稀疏重构算法

  基于稀疏重构实现信号的 $\mathrm{AOA}$ 估计, 首先要构造完备的稀疏表达基, 使得接收阵列信号能够稀疏化表示。对于阵列接收信号模型, 其转向矩阵 $\mathbf{A}$ 中每一个转向向量 $\mathbf{a}\left({\theta }_l\right),l=1,2,\dots ,L$, 对应着空间中一个入射信号。为了接收阵列信号能够稀疏化表示, 将阵列流型矩阵扩展到整个空间。常采用等角度采样的方式划分空间网格，即 $\left\{{\tilde{\theta }}_1,{\tilde{\theta }}_2,\dots ,{\tilde{\theta }}_{N_{\theta }}\right\}$, 其中 $N_{\theta }$ 为划分空间 网格的个数。此时, 构成新的阵列流型矩阵 $\tilde{\mathbf{A}}$ 可以表示为阵列信号的完备稀疏表达基, 即
$$\tilde{\mathbf{A}}=\left[\mathbf{a}\left({\tilde{\theta }}_1\right),\mathbf{a}\left({\tilde{\theta }}_2\right),\dots ,\mathbf{a}\left({\tilde{\theta }}_{N_{\theta }}\right)\right]$$
  在室内环境中, 多径信号的个数会远远小于划分空间网格信号的个数, 即 $L\ll N_{\theta }$, 假设每一个等角度采样的空间网格都对应一个信号 $s_n,n=1,2,\dots ,N_{\theta }$, 接收阵列信号可以稀疏化表示为
$$\mathbf{h}=\tilde{A}\tilde{\mathbf{s}}+\mathbf{n}$$
  式中, $\tilde{\mathbf{s}}={\left[s_1,s_2,\dots ,s_{N_{\theta }}\right]}^{\top }$ 为稀疏空间谱信号, $\mathbf{n}$ 为信号橾声。
  实际上, 稀疏信号 $\tilde{\mathbf{s}}$ 含 有 $L$ 个非零元素, 其所对应转向向量的角度值就是多径人射信号的 AOA 估计, 而其它元素都为零, 如图所示。此时, 空间谱信号 $\tilde{\mathbf{s}}$ 具有很强的稀疏性, 利用稀疏重构算法可以重构出稀疏的空间谱信号 $\tilde{\mathbf{s}}$, 将信号的 $\mathrm{AOA}$ 估计问题就转化为稀疏信号的重构问题。根据稀疏空间谱 $\tilde{\mathbf{s}}$ 和 $\left\{{\tilde{\theta }}_1,{\tilde{\theta }}_2,\dots ,{\tilde{\theta }}_N\right\}$ 的对应关系确定多径信号的 AOA 估计。

  压缩感知理论指出, 如果阵列流型矩阵 $\tilde{\mathbf{A}}$ 满足约束等距性 (Restricted Isometry Property, RIP), 实现 $L$ 项稀疏空间谱 $\tilde{\mathbf{s}}$ 的精确重构, 可以通过一个组合优化问题求解, 即 ${\ell }_0$ 范数优化问题
min ⁡ ∥ s ~ ∥ 0  s.  t . h = A ~ s ~

$$\begin{aligned} &\min \|\tilde{\mathbf{s}}\|_{0} \\ &\text { s. } t . \quad \mathbf{h}=\widetilde{\mathbf{A}} \widetilde{\mathbf{s}} \end{aligned}$$ ​min∥s~∥0​ s. t.h=A s ​
  式中, $\Vert \tilde{\mathbf{s}}{\Vert }_0$ 为稀疏空间谱的 ${\ell }_0$ 范数, 表示稀疏信号 $\tilde{\mathbf{s}}$ 中非零元素的个数。由统计理论和 组合优化方法可知, 通过选择合适的测量方式和重构算法, 仅需 $L+1$ 次测量就可将 $N_{\theta }$ 维空间的 $L$-稀疏信号精确重构, 但是求解上式的非零元素是一个 NP 难问题。当测量矩阵满足 RIP 条件时, 通过 ${\ell }_1$ 范数优化问题代替 ${\ell }_0$ 范数的组合优化问题, 利用线性规划 算法即可求解,
$$\begin{gathered} \min \Vert \tilde{\mathbf{s}}{\Vert }_1 \\ \text{ s. }t.\mathbf{h}=\tilde{\mathbf{A}}\tilde{\mathbf{s}} \end{gathered}$$

  其核心思想是将非零元素个数近似等于所有非零元素绝对值的和，然后通过正则化求解凸优化问题,
$$\min \Vert \mathbf{h}-\tilde{\mathbf{A}}\tilde{\mathbf{s}}{\Vert }_2^2+\kappa \Vert \tilde{\mathbf{s}}{\Vert }_1$$
  式中, $\kappa$ 是正则化系数。利用二阶锥规划（？？） (Second-Order Cone Programming, SOCP) 的方法 可以重构出稀疏空间谱信号 $\tilde{\mathbf{s}}$, 其中的非零元素所对应的等角度空间网格的 角度值就是多径信号的 $\mathrm{AOA}$ 估计。

参考文献

[1]张凌雁. 基于WiFi信道状态信息的室内定位跟踪技术研究[D]. 大连理工大学.