四元数与欧拉角（RPY角）的相互转换_四元数转欧拉角

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• RPY角与Z-Y-X欧拉角

　　描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种方式。第一种是绕固定（参考）坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕{A}的X轴旋转γγ，然后绕{A}的Y轴旋转ββ，最后绕{A}的Z轴旋转αα，就能旋转到当前姿态。可以称其为X-Y-Z fixed angles或RPY角(Roll, Pitch, Yaw)。

　　Roll:横滚

　　Pitch: 俯仰

Yaw: 偏航（航向）

　　由于是绕固定坐标系旋转，则旋转矩阵为（cαcα is shorthand for cosαcos⁡α, sαsα is shorthand for sinαsin⁡α,and so on.）

 

RXYZ(γ,β,α)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=⎡⎣⎢⎢cαcβsαcβ−sβcαsβsγ−sαcγsαsβsγ+cαcγcβsγcαsβcγ+sαsγsαsβcγ−cαsγcβcγ⎤⎦⎥⎥RXYZ(γ,β,α)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=[cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ]

　　另一种姿态描述方式是绕自身坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕自身的Z轴旋转αα，然后绕Y轴旋转ββ，最后绕X轴旋转γγ，就能旋转到当前姿态。称其为Z-Y-X欧拉角，由于是绕自身坐标轴进行旋转，则旋转矩阵为：

 

RZ′Y′X′(α,β,γ)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=⎡⎣⎢⎢cαcβsαcβ−sβcαsβsγ−sαcγsαsβsγ+cαcγcβsγcαsβcγ+sαsγsαsβcγ−cαsγcβcγ⎤⎦⎥⎥RZ′Y′X′(α,β,γ)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=[cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ]

　　可以发现这两种描述方式得到的旋转矩阵是一样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(γ,β,α)(γ,β,α)和绕自身坐标轴Z-Y-X旋转(α,β,γ)(α,β,γ)的最终结果一样，只是描述的方法有差别而已。In gerenal: three rotations taken about fixed axes yield the same final orientation as the same three rotations taken in opposite order about the axes of the moving frame.

• Axis-Angle与四元数

　　绕坐标轴的多次旋转可以等效为绕某一转轴旋转一定的角度。假设等效旋转轴方向向量为K⃗ =[kx,ky,kz]TK→=[kx,ky,kz]T，等效旋转角为θθ，则四元数q=(x,y,z,w)q=(x,y,z,w)，其中：

 

xyzw=kx⋅sinθ2=ky⋅sinθ2=kz⋅sinθ2=cosθ2x=kx⋅sinθ2y=ky⋅sinθ2z=kz⋅sinθ2w=cosθ2

　　且有x2+y2+z2+w2=1x2+y2+z2+w2=1

　　即四元数存储了旋转轴和旋转角的信息，它能方便的描述刚体绕任意轴的旋转。

　　四元数转换为旋转矩阵：

 

R=⎡⎣⎢⎢⎢1−2y2−2z22(xy+zw)2(xz−yw)2(xy−zw)1−2x2−2z22(yz+xw)2(xz+yw)2(yz−xw)1−2x2−2y2⎤⎦⎥⎥⎥R=[1−2y2−2z22(xy−zw)2(xz+yw)2(xy+zw)1−2x2−2z22(yz−xw)2(xz−yw)2(yz+xw)1−2x2−2y2]

 　　已知旋转矩阵为：

　　则对应的四元数为：

 

---

• 四元数与欧拉角的相互转换

　　定义两个四元数：

　　

　　

　　其中 表示矢量 

 ；而 

 

 表示矢量 

四元数加法：

　　跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。

　　加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：

　　四元数的乘法的意义类似于矩阵的乘法，可以表示旋转的合成。当有多次旋转操作时，使用四元数可以获得更高的计算效率。

　　由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp，qp乘积的向量部分是：

　　

　　Mathematica中有四元数相关的程序包Quaternions Package，需要先导入才能使用。下面计算了三个四元数的乘积：

<<Quaternions`     （* This loads the package *）
Quaternion[2, 1, 1, 3] ** Quaternion[2, 1, 1, 0] ** Quaternion[1, 1, 1, 1]    (* Be sure to use ** rather than * when multiplying quaternions *)

　　计算结果为：Quaternion[-12, 4, 14, 2]

 

　　那么将Z-Y-X欧拉角（或RPY角：绕固定坐标系的X-Y-Z依次旋转αα,ββ,γγ角）转换为四元数：

 

q=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢cosγ200sinγ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢cosβ20sinβ20⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢cosα2sinα200⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢cosα2cosβ2cosγ2+sinα2sinβ2sinγ2sinα2cosβ2cosγ2−cosα2sinβ2sinγ2cosα2sinβ2cosγ2+sinα2cosβ2sinγ2cosα2cosβ2sinγ2−sinα2sinβ2cosγ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥q=[cos⁡γ200sin⁡γ2][cos⁡β20sin⁡β20][cos⁡α2sin⁡α200]=[cos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2+sin⁡α2sin⁡β2sin⁡γ2sin⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2−cos⁡α2sin⁡β2sin⁡γ2cos⁡α2sin⁡β2cos⁡γ2+sin⁡α2cos⁡β2sin⁡γ2cos⁡α2cos⁡β2sin⁡γ2−sin⁡α2sin⁡β2cos⁡γ2]

 　　根据上面的公式可以求出逆解，即由四元数q=(q0,q1,q2,q3)q=(q0,q1,q2,q3)或q=(w,x,y,z)q=(w,x,y,z)到欧拉角的转换为：

 

⎡⎣⎢⎢αβγ⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢arctan2(q0q1+q2q3)1−2(q21+q22)arcsin(2(q0q2−q1q3))arctan2(q0q3+q1q2)1−2(q22+q23)⎤⎦⎥⎥⎥⎥[αβγ]=[arctan⁡2(q0q1+q2q3)1−2(q12+q22)arcsin⁡(2(q0q2−q1q3))arctan⁡2(q0q3+q1q2)1−2(q22+q32)]

　　由于arctan和arcsin的取值范围在−π2−π2和π2π2之间，只有180°，而绕某个轴旋转时范围是360°，因此要使用atan2函数代替arctan函数：

 

⎡⎣⎢⎢αβγ⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢atan2(2(q0q1+q2q3),1−2(q21+q22))arcsin(2(q0q2−q1q3))atan2(2(q0q3+q1q2),1−2(q22+q23))⎤⎦⎥⎥⎥[αβγ]=[atan2(2(q0q1+q2q3),1−2(q12+q22))arcsin⁡(2(q0q2−q1q3))atan2(2(q0q3+q1q2),1−2(q22+q32))]

对于tan(θ) = y / x ：

　　θ = ATan(y / x)求出的θ取值范围是[-PI/2, PI/2]；

　　θ = ATan2(y, x)求出的θ取值范围是[-PI,   PI]。

• 当 (x, y) 在第一象限, 0 < θ < PI/2

• 当 (x, y) 在第二象限 PI/2 < θ≤PI

• 当 (x, y) 在第三象限, -PI < θ < -PI/2

• 当 (x, y) 在第四象限, -PI/2 < θ < 0

 　　将四元数转换为欧拉角可以参考下面的代码。需要注意欧拉角有12种旋转次序，而上面推导的公式是按照Z-Y-X顺序进行的，所以有时会在网上看到不同的转换公式（因为对应着不同的旋转次序），在使用时一定要注意旋转次序是什么。比如ADAMS软件里就默认Body 3-1-3次序，即Z-X-Z欧拉角，而VREP中则按照X-Y-Z欧拉角旋转。

enum RotSeq{zyx, zyz, zxy, zxz, yxz, yxy, yzx, yzy, xyz, xyx, xzy,xzx};

// COMPILE: g++ -o quat2EulerTest quat2EulerTest.cpp 
#include <iostream>
#include <cmath> 

using namespace std;

///
// Quaternion struct
// Simple incomplete quaternion struct for demo purpose
///
struct Quaternion{
  Quaternion():x(0), y(0), z(0), w(1){};
  Quaternion(double x, double y, double z, double w):x(x), y(y), z(z), w(w){};
 
  void normalize(){
    double norm = std::sqrt(x*x + y*y + z*z + w*w);
    x /= norm;
    y /= norm;
    z /= norm;
    w /= norm;
  }
  
  double norm(){
    return std::sqrt(x*x + y*y + z*z + w*w);
  }

  double x;
  double y;
  double z;
  double w;  
  
};

///
// Quaternion to Euler
///
enum RotSeq{zyx, zyz, zxy, zxz, yxz, yxy, yzx, yzy, xyz, xyx, xzy,xzx};

void twoaxisrot(double r11, double r12, double r21, double r31, double r32, double res[]){
  res[0] = atan2( r11, r12 );
  res[1] = acos ( r21 );
  res[2] = atan2( r31, r32 );
}
    
void threeaxisrot(double r11, double r12, double r21, double r31, double r32, double res[]){
  res[0] = atan2( r31, r32 );
  res[1] = asin ( r21 );
  res[2] = atan2( r11, r12 );
}

void quaternion2Euler(const Quaternion& q, double res[], RotSeq rotSeq)
{
    switch(rotSeq){
    case zyx:
      threeaxisrot( 2*(q.x*q.y + q.w*q.z),
                     q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z,
                    -2*(q.x*q.z - q.w*q.y),
                     2*(q.y*q.z + q.w*q.x),
                     q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z,
                     res);
      break;
    
    case zyz:
      twoaxisrot( 2*(q.y*q.z - q.w*q.x),
                   2*(q.x*q.z + q.w*q.y),
                   q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z,
                   2*(q.y*q.z + q.w*q.x),
                  -2*(q.x*q.z - q.w*q.y),
                  res);
      break;
                
    case zxy:
      threeaxisrot( -2*(q.x*q.y - q.w*q.z),
                      q.w*q.w - q.x*q.x + q.y*q.y - q.z*q.z,
                      2*(q.y*q.z + q.w*q.x),
                     -2*(q.x*q.z - q.w*q.y),
                      q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z,
                      res);
      break;

    case zxz:
      twoaxisrot( 2*(q.x*q.z + q.w*q.y),
                  -2*(q.y*q.z - q.w*q.x),
                   q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z,
                   2*(q.x*q.z - q.w*q.y),
                   2*(q.y*q.z + q.w*q.x),
                   res);
      break;

    case yxz:
      threeaxisrot( 2*(q.x*q.z + q.w*q.y),
                     q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z,
                    -2*(q.y*q.z - q.w*q.x),
                     2*(q.x*q.y + q.w*q.z),
                     q.w*q.w - q.x*q.x + q.y*q.y - q.z*q.z,
                     res);
      break;

    case yxy:
      twoaxisrot( 2*(q.x*q.y - q.w*q.z),
                   2*(q.y*q.z + q.w*q.x),
                   q.w*q.w - q.x*q.x + q.y*q.y - q.z*q.z,
                   2*(q.x*q.y + q.w*q.z),
                  -2*(q.y*q.z - q.w*q.x),
                  res);
      break;
      
    case yzx:
      threeaxisrot( -2*(q.x*q.z - q.w*q.y),
                      q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z,
                      2*(q.x*q.y + q.w*q.z),
                     -2*(q.y*q.z - q.w*q.x),
                      q.w*q.w - q.x*q.x + q.y*q.y - q.z*q.z,
                      res);
      break;

    case yzy:
      twoaxisrot( 2*(q.y*q.z + q.w*q.x),
                  -2*(q.x*q.y - q.w*q.z),
                   q.w*q.w - q.x*q.x + q.y*q.y - q.z*q.z,
                   2*(q.y*q.z - q.w*q.x),
                   2*(q.x*q.y + q.w*q.z),
                   res);
      break;

    case xyz:
      threeaxisrot( -2*(q.y*q.z - q.w*q.x),
                    q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z,
                    2*(q.x*q.z + q.w*q.y),
                   -2*(q.x*q.y - q.w*q.z),
                    q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z,
                    res);
      break;
        
    case xyx:
      twoaxisrot( 2*(q.x*q.y + q.w*q.z),
                  -2*(q.x*q.z - q.w*q.y),
                   q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z,
                   2*(q.x*q.y - q.w*q.z),
                   2*(q.x*q.z + q.w*q.y),
                   res);
      break;
        
    case xzy:
      threeaxisrot( 2*(q.y*q.z + q.w*q.x),
                     q.w*q.w - q.x*q.x + q.y*q.y - q.z*q.z,
                    -2*(q.x*q.y - q.w*q.z),
                     2*(q.x*q.z + q.w*q.y),
                     q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z,
                     res);
      break;
        
    case xzx:
      twoaxisrot( 2*(q.x*q.z - q.w*q.y),
                   2*(q.x*q.y + q.w*q.z),
                   q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z,
                   2*(q.x*q.z + q.w*q.y),
                  -2*(q.x*q.y - q.w*q.z),
                  res);
      break;
    default:
      std::cout << "Unknown rotation sequence" << std::endl;
      break;
   }
}

///
// Helper functions
///
Quaternion operator*(Quaternion& q1, Quaternion& q2){
  Quaternion q;
  q.w = q1.w*q2.w - q1.x*q2.x - q1.y*q2.y - q1.z*q2.z;
  q.x = q1.w*q2.x + q1.x*q2.w + q1.y*q2.z - q1.z*q2.y;
  q.y = q1.w*q2.y - q1.x*q2.z + q1.y*q2.w + q1.z*q2.x;
  q.z = q1.w*q2.z + q1.x*q2.y - q1.y*q2.x + q1.z*q2.w;
  return q;
}

ostream& operator <<(std::ostream& stream, const Quaternion& q) {
  cout << q.w << " "<< showpos << q.x << "i " << q.y << "j " << q.z << "k"; 
  cout << noshowpos;
}

double rad2deg(double rad){
  return rad*180.0/M_PI;
}

///
// Main
///
int main(){

  Quaternion q; // x,y,z,w
  Quaternion qx45(sin(M_PI/8), 0,0, cos(M_PI/8) );
  Quaternion qy45(0, sin(M_PI/8), 0, cos(M_PI/8));
  Quaternion qz45(0, 0, sin(M_PI/8), cos(M_PI/8));
  Quaternion qx90(sin(M_PI/4), 0,0, cos(M_PI/4) );
  Quaternion qy90(0, sin(M_PI/4), 0, cos(M_PI/4));
  Quaternion qz90(0, 0, sin(M_PI/4), cos(M_PI/4));

  double res[3];

  q = qz45*qx45;
  q.normalize();
  quaternion2Euler(q, res, zyx);
  cout << "Rotation sequence: X->Y->Z" << endl;
  cout << "x45 -> z45" << endl;
  cout << "q: " << q << endl;
  cout << "x: " << rad2deg(res[0]) << " y: " << rad2deg(res[1]) << " z: " << rad2deg(res[2]) << endl << endl;

  q = qz90*qx90;
  q.normalize();
  quaternion2Euler(q, res, zyx);
  cout << "Rotation sequence: X->Y->Z" << endl;
  cout << "x90 -> z90" << endl;
  cout << "q: " << q << endl;
  cout << "x: " << rad2deg(res[0]) << " y: " << rad2deg(res[1]) << " z: " << rad2deg(res[2]) << endl << endl;

  q = qx90*qz90;
  q.normalize();
  quaternion2Euler(q, res, xyz);
  cout << "Rotation sequence: Z->Y->X" << endl;
  cout << "z90 -> x90" << endl;
  cout << "q: " << q << endl;
  cout << "x: " << rad2deg(res[0]) << " y: " << rad2deg(res[1]) << " z: " << rad2deg(res[2]) << endl;
}

　　 上面的代码存在一个问题，即奇异性没有考虑。下面看一种特殊的情况（参考Maths - Conversion Quaternion to Euler）：假设一架飞机绕Y轴旋转了90°（俯仰角pitch=90），机头垂直向上，此时如何计算航向角和横滚角？

　　这时会发生自由度丢失的情况，即Yaw和Roll会变为一个自由度。此时再使用上面的公式根据四元数计算欧拉角会出现问题：

　　arcsin(2(q0q2−q1q3))arcsin⁡(2(q0q2−q1q3))的定义域为[−1,1][−1,1]，因此(q0q2−q1q3)∈[−0.5,0.5](q0q2−q1q3)∈[−0.5,0.5]，当q0q2−q1q3=0.5q0q2−q1q3=0.5时（在程序中浮点数不能直接进行等于判断，要使用合理的阈值），俯仰角ββ为90°，将其带入正向公式计算出四元数(q0,q1,q2,q3)(q0,q1,q2,q3)，然后可以发现逆向公式中atan2函数中的参数全部为0，即出现了0000的情况！无法计算。

　　β=π/2β=π/2时，sinβ2=cosβ2=0.707sin⁡β2=cos⁡β2=0.707，将其带入公式中有

 

q=⎡⎣⎢⎢⎢⎢wxyz⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢0.707(cosα2cosγ2+sinα2sinγ2)0.707(sinα2cosγ2−cosα2sinγ2)0.707(cosα2cosγ2+sinα2sinγ2)0.707(cosα2sinγ2−sinα2cosγ2)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0.707cosα−γ20.707sinα−γ20.707cosα−γ20.707sinα−γ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥q=[wxyz][0.707(cos⁡α2cos⁡γ2+sin⁡α2sin⁡γ2)0.707(sin⁡α2cos⁡γ2−cos⁡α2sin⁡γ2)0.707(cos⁡α2cos⁡γ2+sin⁡α2sin⁡γ2)0.707(cos⁡α2sin⁡γ2−sin⁡α2cos⁡γ2)]=[0.707cos⁡α−γ20.707sin⁡α−γ20.707cos⁡α−γ20.707sin⁡α−γ2]

　　则xw=zy=tanα−γ2xw=zy=tan⁡α−γ2，于是有

 

α−γ=2⋅atan2(x,w)α−γ=2⋅atan2(x,w)

 　　通常令α=0α=0，这时γ=−2⋅atan2(x,w)γ=−2⋅atan2(x,w)。可以进行验证：当四元数为(w,x,y,z)=(0.653,-0.271,0.653,0.271)时，根据这些规则计算出来的ZYX欧拉角为α=0°，β=90°，γ=45°

　　当俯仰角为-90°，即机头竖直向下时的情况也与之类似，可以推导出奇异姿态时的计算公式。比较完整的四元数转欧拉角（Z-Y-X order）的代码如下：

CameraSpacePoint QuaternionToEuler(Vector4 q) // Z-Y-X Euler angles
{
    CameraSpacePoint euler = { 0 };
    const double Epsilon = 0.0009765625f;
    const double Threshold = 0.5f - Epsilon;

    double TEST = q.w*q.y - q.x*q.z;

    if (TEST < -Threshold || TEST > Threshold) // 奇异姿态,俯仰角为±90°
    {
        int sign = Sign(TEST);

        euler.Z = -2 * sign * (double)atan2(q.x, q.w); // yaw

        euler.Y = sign * (PI / 2.0); // pitch

        euler.X = 0; // roll

    }
    else
    {
        euler.X = atan2(2 * (q.y*q.z + q.w*q.x), q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z);
        euler.Y = asin(-2 * (q.x*q.z - q.w*q.y));
        euler.Z = atan2(2 * (q.x*q.y + q.w*q.z), q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z);
    }
        
    return euler;
}

 

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　　在DirectXMath Library中有许多与刚体姿态变换相关的函数可以直接调用：

• 四元数乘法：XMQuaternionMultiply method --Computes the product of two quaternions.
• 旋转矩阵转四元数：XMQuaternionRotationMatrix method --Computes a rotation quaternion from a rotation matrix.
• 四元数转旋转矩阵：XMMatrixRotationQuaternion method -- Builds a rotation matrix from a quaternion.
• 欧拉角转四元数：XMQuaternionRotationRollPitchYaw method --Computes a rotation quaternion based on the pitch, yaw, and roll (Euler angles).
• 四元数转Axis-Angle：XMQuaternionToAxisAngle method --Computes an axis and angle of rotation about that axis for a given quaternion.
• 欧拉角转旋转矩阵：XMMatrixRotationRollPitchYaw method --Builds a rotation matrix based on a given pitch, yaw, and roll (Euler angles).
• Axis-Angle转旋转矩阵：XMMatrixRotationAxis method --Builds a matrix that rotates around an arbitrary axis.
• 构造绕X/Y/Z轴的旋转矩阵：XMMatrixRotationX method --Builds a matrix that rotates around the x-axis.(Angles are measured clockwise when looking along the rotation axis toward the origin)

 　　下面的代码中坐标系绕X轴旋转90°（注意这里不是按照右手定则的方向，而是沿着坐标轴向原点看过去以顺时针方式旋转，因此与传统的右手定则刚好方向相反），来进行变换：

 View Code

　　结果如下图所示:

 

参考：

quaternions.online

DirectXMath Library Quaternion Functions

Convert quaternion to euler rotations

Conversion between quaternions and Euler angles

Maths - Conversion Quaternion to Euler

Coordinate Transformations in Robotics—MATLAB

Introduction to Robotics - Mechanics and Control. Chapter 2 Spatial descriptions and transformations