机器学习—线性回归—正规方程(原理及代码实现)_机器学习线性回归的正规方程解

一、正规方程的引入

当我们求解线性回归问题时引入梯度下降算法的目的是，为了找到代价函数的最小值，也就是代价函数曲线的最低点，如图：

那么当对于某些线性回归问题，我们可不可以直接让代价函数对参数θ求的偏导等于0，来算出代价函数最小时的参数呢？这就引出了正规方程。

二、正规方程怎么算

1、代价函数

线性回归模型的代价函数为误差平方和代价函数，如下

2、梯度下降

梯度下降对参数θ求偏导得出：

如若对线性回归的算法的推导不是很清晰，可点击下面链接进行学习。
单变量线性回归算法推导及代码实现

3、正规方程(两种方法)

1、方法一
当代价函数对参数θ求的偏导(上边梯度下降)等于0时，如下：

则

进一步推导出

这就是正规方程的最终表达式。
2、方法二

三、正规方程适用问题

---

1、只要特征变量的数目并不大，标准方程是一个很好的计算参数θ的替代方法。
2、只要特征变量数量小于一万，我通常使用标准方程法，而不使用梯度下降法。
3、当讲到分类算法，像逻辑回归算法，我们会看到，实际上对于那些算法，并不能使用标准方程法。
4、对于那些更复杂的学习算法，我们将不得不仍然使用梯度下降法。因此，梯度下降法是一个非常有用的算法。
5、对于那些不可逆的矩阵（通常是因为特征之间不独立，如同时包含英尺为单位的尺寸和米为单位的尺寸两个特征，也有可能是特征数量大于训练集的数量），正规方程方法是不能用的。

四、梯度下降与正规方程的比较

五、正规方程的python代码实现

1、

#导库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']     #显示中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False       #显示负号

#数据集
X=[1.5,0.8,2.6,1.0,0.6,2.8,1.2,0.9,0.4,1.3,1.2,2.0,1.6,1.8,2.2]
y=[3.1,1.9,4.2,2.3,1.6,4.9,2.8,2.1,1.4,2.4,2.4,3.8,3.0,3.4,4.0]

#数据初始化
X = np.c_[np.ones(len(X)),X]
y = np.c_[y]

#初始化θ
theta = np.zeros((2,1))

#正规方程的代码表示    ！！！！重点！！！！
theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T.dot(y))

#可视化展示 画图
plt.figure('散点图')
plt.title('散点图')
plt.scatter(X[:,1],y,c='r',marker='*',label='样本点')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')

theta0 = theta[0]
theta1 = theta[1]

#画回归方程
min_x,max_x = np.min(X),np.max(X)
min_y = theta1*min_x + theta0
max_y = theta1*max_x + theta0
plt.plot((min_x,max_x),(min_y,max_y),c='g')

plt.legend()
plt.show()
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结果展示

2、Pandas库

import numpy as np
import pandas as pd
path='./datas/household_power_consumption_1000.txt'

#使用pandas加载csv
df = pd.read_csv(path,sep=";")
print(df)

# 对数据集增加偏置，并去除掉不需要的列
df = df[["Global_active_power","Global_reactive_power","Global_intensity"]]

# 建立一列为1的dataframe，起名为b作为偏置项
df["b"]=1

# 异常数据处理  (只要有特征为空，就进行删除操作)
df = df.replace("?",np.nan).dropna()

print(df.info())
#将字符串转为浮点
df.Global_active_power = df.Global_active_power.astype(np.float64)

# 分离X和Y
# 获取"Global_active_power","Global_reactive_power","b"为X
X = df[["Global_active_power","Global_reactive_power","b"]]
Y = df[["Global_intensity"]]

# 将dataframe转为numpy矩阵
X = np.mat(X)
Y = np.mat(Y)

#使用正规方程法求解模型参数
theta = (X.T*X).I*X.T*Y
# theta = np.linalg.inv(np.dot(X.T,X)).dot(np.dot(X.T,Y))
print(theta)
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结果展示

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2    16/12/2006  17:26:00  ...            2.0            17.0
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[1000 rows x 9 columns]
<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
Int64Index: 999 entries, 1 to 999
Data columns (total 4 columns):
Global_active_power      999 non-null object
Global_reactive_power    999 non-null float64
Global_intensity         999 non-null float64
b                        999 non-null int64
dtypes: float64(2), int64(1), object(1)
memory usage: 39.0+ KB
None
[[4.10551185]
 [0.68820978]
 [0.35884791]]
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