改变人类文明的最美公式：麦克斯韦方程组

它告诉我们什么？

电和磁并不会随便乱跑。旋转的电场区域会产生垂直于旋转方向的磁场。旋转的磁场区域也会产生垂直于旋转方向的电场，但方向相反。

为什么重要？

这是物理力的第一次重大统一，表明电和磁是密切相关的。

它带来了什么？

预言电磁波存在并以光速行进，因此光本身就是电磁波。它推动人们发明了无线电、雷达、电视、计算机设备的无线连接，以及大多数现代通信技术。

19世纪初，大多数人家中使用蜡烛和灯笼照明。煤气灯可追溯至1790年，偶尔用于家庭和商业场所，主要供发明家和企业家使用。煤气路灯于1820年在巴黎投入使用。

那时，发送信息的标准方式是写一封信并用马车寄送；如果信息紧急，那就留下马，去掉马车。

主要的替代方案（大多严格限定用于军事和官方通信）是“光电报”。它类似于“旗语”，利用放置在塔上的机械装置，把刚性臂摆成不同角度构成编码来代表字母或单词。这些形状可以通过望远镜看到，并被传递到下一个塔。

首个大规模此类系统可以追溯到1792年，当时法国工程师克劳德·沙普（Claude Chappe）建造了556座塔楼，形成了一个遍布法国大部分地区、长达4800千米的网络，运行了60年。

过了不到一百年，家庭和街道都安上了电灯，电报已成为过去，人们可以通过电话互相交谈。物理学家在实验室中展示了无线电通信，一位企业家已经建立了一个向公众出售“无线电”（收音机）的工厂。

两位科学家的重大发现引发了这场社会和技术革命：一位是英国人迈克尔·法拉第（Michael Faraday），他建立了基本的电磁学——将过去认为独立的电和磁现象紧密地结合起来；另一位是苏格兰人詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell），他将法拉第的机械理论转化为数学方程，并由此预言了以光速传播的无线电波的存在。

伦敦皇家学院是一座门前有古典柱的宏伟建筑，隐藏在皮卡迪利广场附近的一条小街上。今天，它主要为公众举办科普活动，但在1799年成立时，它的任务还包括“传播知识，促进有用的机械发明的推广”。

当约翰·“疯狂杰克”·富勒（John “Mad Jack” Fuller）在皇家学院设立化学讲席时，第一位任职者不是学术界人士。他是一个想成为铁匠的人的儿子，曾经是一名书商的学徒。尽管家庭经济拮据，但这一职位让他能够贪婪地阅读，而简·马塞（Jane Marcet）的《化学对话》和艾萨克·沃茨（Isaac Watts）的《心灵的改善》激发了他对科学，特别是电学的浓厚兴趣。

这位年轻人就是迈克尔·法拉第。他曾参加过著名化学家汉弗莱·戴维（Humphry Davy）在皇家学会的讲座，并向这位讲师寄送了300页的笔记。不久之后，戴维发生意外事故，视力受损，于是请法拉第担任他的秘书。之后，皇家学院的一名助理遭到解雇，戴维便推荐法拉第填补空缺，让他开始研究氯的化学反应。

皇家学院允许法拉第追求自己的科学兴趣，于是他对新发现的电学话题进行了无数次实验。

1821年，他了解了丹麦科学家汉斯·克里斯蒂安·奥斯特德（Hans Christian Ørsted）的工作，这一工作将电与古老得多的磁性现象联系了起来。法拉第利用这个联系发明了一种电动机，但戴维对没有任何功劳归于自己感到恼火，并告诉法拉第去从事其他工作。

戴维于1831年去世，两年后，法拉第开始了一系列关于电和磁的实验，这些实验确立了他作为有史以来最伟大的科学家之一的声誉。他的研究如此广泛，部分动机是需要提出大量的新颖实验来教化平民并娱乐名流——这是皇家学院的职责之一，即鼓励公众了解科学。

在法拉第的发明中，有将电转化为磁的方法、将电和磁转化为运动（电动机）的方法，以及将运动转化为电（发电机）的方法。这些发明利用了他最大的发现——电磁感应。

如果能够导电的材料穿过磁场运动，则它的上面将流过电流。法拉第在1831年发现了这一点。

弗朗西斯科·赞特德斯基（Francesco Zantedeschi）已经在1829年注意到了这种效应，约瑟夫·亨利（Joseph Henry）稍后也发现了它。但亨利推迟了对这一发现的发表，而法拉第对这一想法的运用要比赞特德斯基深刻得多。

法拉第的工作远远超出了皇家学院“创造利用前沿物理学的创新机器，促进有用的机械发明”的职责。它直接带来了电力、照明和成千上万的小玩意。当其他人接过他的接力棒时，所有那些琳琅满目的现代电气和电子设备突然登场，先是无线电，然后是电视、雷达和远距离通信。

法拉第对创造现代科技世界的贡献首屈一指，当然，还有成百上千才华横溢的工程师、科学家和商人带来的关键创新。

作为缺乏绅士教育的工人阶级，法拉第自学了科学，但没有自学数学。他发展了自己的理论来解释和指导自己的实验，但都依赖于机械类比和概念模型，而不是公式和方程。有了苏格兰最伟大的科学家之一詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，法拉第的工作才在基础物理学中占据了应有的位置。

在法拉第宣布发现电磁感应的同一年，麦克斯韦出生了。一个应用很快出现了，即高斯和他的助手威廉·韦伯（William Weber）发明的电磁电报。高斯希望使用电线在哥廷根天文台（他喜欢待在那里）和一千米外韦伯工作的物理研究所之间传输电信号。

高斯简化了先前用于区分字母表中字母的技术（每个字母一根电线），利用正负电流引入了二进制代码。到1839年，英国大西部铁路公司通过电报从帕丁顿向西德雷顿发送信息，距离为21千米。同年，萨缪尔·莫尔斯（Samuel Morse）在美国独立发明了自己的电报，采用莫尔斯码（由他的助手阿尔弗雷德·韦尔发明）在1838年发出了第一条信息。

1876年，也就是麦克斯韦去世前三年，亚历山大·格雷厄姆·贝尔（Alexander Graham Bell）在一个新玩意——“音响电报”上取得了第一项专利。这种装置将声音（特别是语音）转换为电脉冲，并将它沿着电线传输到接收器，接收器再把脉冲转换回声音。我们现在管它叫作“电话”。他不是第一个提出这一设想的人，甚至不是第一个制作出来的人，但他拥有主要的专利。

托马斯·爱迪生（Thomas Edison）用1878年发明的碳粒式麦克风改进了设计。一年后，爱迪生开发出了碳纤维电灯泡，并在大众心中树立了电灯发明人的形象。事实上，在他之前至少有23位发明家发明电灯，其中最著名的是于1878年取得专利的约瑟夫·斯旺（Joseph Swan）。1880年，也就是麦克斯韦去世一年后，美国伊利诺伊州的沃巴什市成为第一个在街道上使用电气照明的城市。

通信和照明的这些革命很大程度上要归功于法拉第，发电则很大程度上要归功于麦克斯韦。但麦克斯韦影响最为深远的遗产，是让电话如今看起来像个儿童玩具。它直接且不可避免地源于他的电磁方程组。

麦克斯韦出生于一个才华横溢但有些古怪的爱丁堡家庭，家中有律师、法官、音乐家、政客、诗人、采矿投机商和商人。十几岁时，他为数学的魅力所倾倒，赢得了一场学校比赛，并撰写了一篇关于如何用针和线画出椭圆曲线的文章。

16岁时，他进入爱丁堡大学学习数学，并做了化学、磁学和光学实验。他在爱丁堡皇家学会期刊上发表了纯数学和应用数学的论文。

1850年，他的数学生涯发生了翻天覆地的变化——他搬到了剑桥大学，在威廉·霍普金斯（William Hopkins）的私人辅导下准备参加数学荣誉学位考试。当时的考试要争分夺秒地解决复杂的问题，往往需要熟练的技巧和大量的计算。后来，英格兰最优秀的数学家之一、剑桥大学教授戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy）对如何做出创造性的数学有着强烈的意见，而为了棘手的考试临时抱佛脚并非正途。

1926年，他说自己的目标“不是…… 要改革荣誉学位考试，而是要摧毁它”。但麦克斯韦突击了一下就在激烈的竞争中脱颖而出，可能是因为他的头脑正适合搞这个。

他还继续做古怪的实验，其中包括试图弄清楚为什么猫落下来总是脚着地，哪怕是让它四脚朝天、在床上方几厘米处再松手也一样。问题是这似乎违反了牛顿力学；猫必须旋转180度，但没有什么可以借力的地方。具体的原理让他百思不得其解，直到1894年法国医生朱尔·马雷（Jules Marey）拍摄一组猫下落的照片之后才解开了谜团。秘密在于猫不是刚体——它会把身体的前部和后部扭向相反的方向再扭回来，伸展并缩回它的爪子来阻止这些运动相互抵消。

麦克斯韦获得了数学学位，并在三一学院继续当研究生。在那里，他阅读了法拉第的《实验研究》，并研究电和磁。他在阿伯丁找到了一个自然哲学的教席，研究土星的环和气体分子的动力学。1860年，他搬到伦敦国王学院，他在那里有时可以见到法拉第。此时，麦克斯韦开始了他影响最为深远的探索：为法拉第的实验和理论奠定数学基础。

当时，大多数研究电和磁的物理学家在寻找与引力的类比。这似乎很有道理：与重力一样，异种电荷相互吸引的力与其距离的平方成反比。同种电荷以类似变化的力相互排斥。磁也是如此，只是电荷被磁极取代。

标准的思维方式是，引力是一个物体神秘地作用于远处另一个物体的力，而两者之间没有任何东西，于是人们也认定电和磁以类似的方式起作用。法拉第有一个不同的想法：它们都是“场”，一种弥漫在空间中并可以通过它产生的力来探测到的现象。

什么是场？在麦克斯韦能用数学方法来描述这个概念之前，他几乎没能取得什么进展。但是，缺乏数学训练的法拉第从几何结构的角度提出了他的理论，例如场进行推拉作用的“力线”。

麦克斯韦的第一个重大突破是利用类比流体流动的数学来重新表述这些想法，其中的“流体”实际上就是场。然后，力线被类比为流体分子所遵循的路径，电场或磁场的强度类比于流体的速度。

非正式地来说，“场”是一种看不见的流体；不管它到底是什么，它在数学上的表现完全一样。麦克斯韦从流体数学中借鉴了思想，并对其进行了修改以描述磁性。他的模型解释了在电学中观察到的主要特性。

麦克斯韦不满足于这一初步尝试，他接下来不仅研究了磁，还研究了与电的关系。当电流体流动时，它会影响磁流体，反之亦然。对于磁场，麦克斯韦在脑海里把它们想象成在空间中旋转的微小漩涡。类似地，电场由微小的带电球体构成。按照这个类比和由此产生的数学，麦克斯韦开始理解电场力的变化如何产生磁场。当带电球体运动时，它们会使磁性涡旋旋转，就像穿过旋转栅门的观赛球迷一样。球迷移动而不旋转，栅门旋转而不移动。

麦克斯韦对这个比拟有点儿不满意，说“我把它提出来…… 并不是作为一种存在于自然界中的连接方式…… 然而，它在机械上可以想象出来，易于研究，并且可以发现已知的电磁现象之间实际的机械连接”。为了说明他的意思，他用这个模型解释了为什么带有相反电流的平行导线相互排斥，还解释了法拉第关于电磁感应的重要发现。

接下来的一步，是在保留数学的同时，去掉引发这种类比的机械装置。这意味着写下电场和磁场之间基本相互作用的方程，这些方程来源于机械模型，却与这个来源脱了干系。麦克斯韦在1864年的著名论文《电磁场的动力学理论》中实现了这一目标。

我们现在使用矢量来解释他的方程，矢量是不仅有大小而且有方向的量。最常见的矢量是速度：大小是速率，即物体运动的快慢；方向是它运动的方向。方向确实很重要：以10千米/秒的速度垂直向上运动的物体，与以10千米/秒的速度垂直向下运动的物体表现得非常不同。在数学上，矢量以其三个分量表示：沿三个彼此成直角的轴，例如北/南、东/西和上/下。因此，矢量说到底就是由三个数字组成的三元组，如图11.1所示。例如，给定点处的流体速度是一个矢量。相反，给定点的压强只是一个数，将其与矢量区分开的术语是“标量”。

图 11.1　三维矢量

有了这些术语，那么电场是什么呢？从法拉第的角度来看，它是由电力线决定的。在麦克斯韦的类比中，电力线是电流体的流线。流线告诉我们流体在哪个方向流动，当分子沿着流线运动时，我们也可以观察它的速度。对于空间中的每个点，通过该点的流线确定了一个矢量来描述电流体的速度和方向，即该点处电场的强度和方向。相反，如果知道这些速度和方向，对于空间中的每个点，我们可以推断出流线的样子，因此原则上我们就知道了电场。

简而言之，电场是一个矢量系统，空间中的每个点上都有一个矢量。每个矢量规定了该点处电场力的强度和方向（施加在微小的带电测试粒子上）。数学家将这样的量称为“矢量场”——一个为空间中的每个点分配相应矢量的函数。类似地，磁场由磁力线确定，这个矢量场对应于施加在微小磁性测试粒子上的力。

搞清楚电场和磁场是什么之后，麦克斯韦就可以写出方程来描述它们所做的事情。我们现在使用两个矢量运算符——“散度”和“旋度”来表达这些方程。麦克斯韦使用了涉及电场和磁场三个分量的特定公式。在没有导线或金属板，没有磁铁，以及一切都在真空中发生的特殊情况下，方程的形式会稍微简单一点儿，我的讨论将局限于这种情况。

其中两个方程告诉我们，电流和磁流体是不可压缩的，也就是说，电和磁不能泄漏，它们必须去往某个地方。这就意味着“散度为零”，由此得出方程

其中倒三角形加上圆点代表“散度”。另外两个方程告诉我们，当一个电场区域在一个小圆圈内旋转时，它会产生一个与旋转所在平面成直角的磁场，同样，一个旋转的磁场区域会产生与旋转所在平面成直角的电场。这里有一个奇怪的情况：对于给定的旋转方向，电场和磁场会指向相反的方向。方程是

这里的倒三角形加上叉号代表“旋度”。符号代表时间，而是对时间的变化率。注意，第一个方程中有一个负号，但第二个方程没有，这就代表了上面提到的相反方向。这里的又是什么呢？它是一个常数，是电磁单位与静电单位之比。实验得出的这个比稍稍不到300 000，单位是千米/秒。麦克斯韦立即认出了这个数字：这是真空中的光速。为什么会出现这个数呢？他决定找出答案。有一条线索可以追溯到牛顿（其他人也做过贡献），就是发现光是某种波。但没有人知道这个波是由什么组成的。

一个简单的计算给出了答案。一旦知道了电磁方程组，你就可以求解它们，以预测电场和磁场在不同情况下的表现，还可以得出一般性的数学结果。例如，第二对方程把和联系在一起，任何数学家都会立即尝试推导出只包含和只包含的方程，因为这样我们就可以分别专注于每个场了。相比于它恢宏的结果，这个任务简单到了荒谬的程度——如果你对矢量微积分有一定的了解的话。我把详细的步骤放在了注释里，但简要的总结如下。依照直觉，我们从第三个方程入手，它将的旋度和的时间导数联系了起来。我们没有任何其他方程涉及的时间导数，但确实有一个方程涉及的旋度，也就是第四个方程。这表明我们应该对第三个方程两边取旋度。然后代入第四个方程，化简，就得到了

这就是波动方程！

同样的技巧用于的旋度也可以得到相同的方程，只是把换成了（负号因代入两次抵消了）。因此，真空中的电场和磁场都遵循波动方程。由于在每个波动方程中出现相同的常数，它们都以相同的速度传播，即。因此，这个小小的计算预测了电场和磁场都可以同时支持波动——这就让它形成了电磁波，其中两个场协调一致地变化。那么波速就是…… 光速。

这又是一个有圈套的问题。什么东西以光速传播？这一次，答案就是你会想到的：光。但它还有一个重要的含义：光是电磁波。

这可是个大新闻。在麦克斯韦推导他的方程之前，没有理由想象光、电和磁之间会有如此基础的联系。但还不止于此。光有许多不同的颜色，一旦你知道光是一种波，就可以推论出这些波对应于不同的波长——连续两个波峰之间的距离。波动方程对波长没有任何约束，所以它可以是任意长。受眼睛中检测光的色素的化学性质影响，可见光的波长被限制在很小的范围内。物理学家已经知道了“隐形光”，即紫外线和红外线。当然，它们的波长就刚刚落在可见光范围之外。现在，麦克斯韦方程组引出了一个激动人心的预测：还应该存在其他波长的电磁波。可以想象，任何波长——或长或短——都可能发生，如图11.2所示。

图 11.2　电磁波谱

没人想到这一点，但是一旦理论认为它应该发生，实验主义者就可以出发去寻找它。其中一位是德国人海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）。1886年，他构建了一台可以产生无线电波的设备，还有一台可以接收它们的设备。发送器只不过是一台可以产生高压火花的机器。理论表明，这种火花会发射无线电波。接收器是一个圆形的铜线环，其大小与入射的电磁波共振。环上的一个小间隙（只有几百分之一毫米宽）可以产生微小的火花来体现电磁波的存在。赫兹在1887年做了实验并取得了成功。他接着研究了无线电波的许多不同特征。他还测量了无线电波的速度，得到了接近光速的答案，这证实了麦克斯韦的预测，并证实他的装置确实检测到了电磁波。

赫兹知道自己的工作在物理学上很重要，于是将其发表在《电波：作为以有限速度通过空间的传播的电行为的研究》一书中。但他从未想过这个想法可能有实际的用途。当被问到时，他回答：“这没有任何用处…… 只是一个证明麦克斯韦大师正确的实验——就是有这些神秘的电磁波，我们用肉眼看不到。但它们就在那里。”当被追问这有什么意义的时候，他说：“我想，没什么。”

这是想象力的失败，还是兴趣的缺乏？很难说。但赫兹的“无用”实验证实了麦克斯韦对电磁辐射的预测，很快就会引出一项让电话如今看起来像儿童玩具的发明。

无线电。

无线电利用了一个特别有趣的频谱范围：波长比光长得多的波。这种波可能会在很远的距离上保持其结构。赫兹错过的关键想法很简单：如果你能以某种方式把信号印在这种波中，就可以与世界交谈。

其他物理学家、工程师和企业家更具想象力，并迅速发现了无线电的潜力。然而，要把这些潜力变成现实，他们必须解决许多技术问题。

第一个问题是，他们需要一个可以产生足够强大的信号的发射器，以及可以接收它的东西。赫兹的装置被限制在几英尺的距离内，所以你可以理解为什么他不建议将通信作为一种可能的应用。

第二个问题是如何把信号加上去。

第三个问题是信号可以发送多远，这可能受到地球曲率的限制。如果连接发射器和接收器的直线碰到地面，信号就可能被阻挡。后来人们发现，大自然对我们很友善，因为地球的电离层会反射各种波长的无线电波，但在此之前也有显然的方法来解决潜在的问题。你可以建造高塔，并在上面安装发射器和接收器。通过一座座塔来中继信号，你就可以非常快速地把信息发往全球。

有两种相对明显的方法可以把信号加载到无线电波上。你可以让振幅变化，也可以让频率变化。这些方法被称为振幅调制（调幅，AM）和频率调制（调频，FM）。两种方法至今仍在使用。这个问题解决了。到了1893年，塞尔维亚工程师尼古拉·特斯拉（Nikola Tesla）发明并建造了无线电传输所需的所有主要设备，并向公众展示了他的方法。1894年，奥利弗·洛奇（Oliver Lodge）和亚历山大·缪尔黑德（Alexander Muirhead）把一个无线电信号从牛津的克拉伦登实验室发送到了附近的一个演讲厅。

一年后，意大利发明家古列尔莫·马可尼（Guglielmo Marconi）使用他发明的新设备把信号传输了1.5千米。意大利政府拒绝为进一步的工作提供资金，于是马可尼搬到了英格兰。在英国邮政局的支持下，他很快将传输范围扩大到16千米。进一步的实验引出了马可尼定律：信号可以发送的距离大致与发射天线高度的平方成正比。塔高加倍，信号传输距离就达到四倍。这也是一个好消息：它表明远程传输应该是可行的。

马可尼于1897年在英国怀特岛建立了一个发射站，并于第二年开设了一家工厂，制造他所谓的“无线”（wireless）。我们一直到1952年还这么叫它，当时我在卧室里收听广播节目《呆子秀》（Goon Show）和《大胆阿丹》（Dan Dare），不过哪怕在当时，我们也会把这个设备称为“收音机”（the radio）。“无线”这个词如今当然再度流行起来，但现在指的是计算机与键盘、鼠标、调制解调器和互联网路由器之间的无线连接，而不是遥远的发射器与你的接收器之间的连接。不过，这种连接依然通过无线电完成。

最初，马科尼拥有无线电的主要专利，但他在1943年的一场官司中把它们输给了特斯拉。技术进步很快使这些专利过时了。从1906年到20世纪50年代，收音机中的关键电子元件是真空管，就像一个小灯泡，所以收音机只能又大又笨重。晶体管是一种体积小得多，功能却更强大的器件，由贝尔实验室的一个工程团队于1947年发明出来，团队中有威廉·肖克利（William Shockley）、沃尔特·布拉顿（Walter Brattain）和约翰·巴丁（John Bardeen）。到了1954年，市场上出现了晶体管收音机，不过收音机已经开始失去作为头号娱乐媒体的地位。

到1953年，我已经看到了未来。那是英国女王伊丽莎白二世的加冕仪式，而我在汤布里奇的阿姨有……{}一台电视机！所以我们都挤进父亲吱嘎作响的汽车里，乘车40英里去收看盛况。说实话，我对儿童节目《花盆人比尔和本》的印象比加冕仪式更深刻，但从那时起，收音机已不再是现代家庭娱乐的象征。不久后，我们家也拥有了一台电视机。任何一个守着48英寸高清平板彩色电视和上千个频道长大的人，都会惊讶于那时候的画面是黑白的，只有约12英寸大，而且（在英国）只有一个频道：BBC。所以我们说看“电视”，它确实指的就是“那一套”电视。

娱乐只是无线电波的应用之一。它们对军队、通信和其他用途也至关重要。雷达（无线电探测和测距）的发明很可能为盟军赢得了第二次世界大战。这种绝密装置可以通过让无线电信号从飞机上反射并观察反射波来探测飞机，特别是敌机。胡萝卜对视力有益的坊间传闻起源于战时的虚假信息，旨在阻止纳粹分子琢磨为什么英国人如此善于发现来袭的轰炸机。雷达在和平时期也有用途：空中交通管制员依靠它来跟踪所有飞机的位置，以防止碰撞；它在起雾时把客机引导到跑道上；它警告飞行员即将到来的气流；考古学家使用透地雷达来确定坟墓和古建筑遗迹的可能位置。

威廉·伦琴（Wilhelm Röntgen）于1875年首次系统地研究了X射线，这种射线的波长比光短得多。这意味着它的能量更高，可以穿过不透明的物体，特别是人体。医生可以使用X射线来检测骨折和其他生理问题，不过现代方法更为复杂、成熟，使患者受到的辐射伤害更小。X射线扫描仪现在可以在计算机中创建人体或某些部分的三维图像。其他类型的扫描仪可以利用不同的物理原理达到同样的效果。

微波是发送电话信号的有效方式，它们也出现在厨房里，就是用来快速加热食物的微波炉。最新出现的应用之一是机场安检。太赫兹辐射，也称为T波，可以穿透衣服甚至体腔。海关官员可以利用它们来发现毒品贩子和恐怖分子。它们的用途有点儿争议，因为它们相当于电子搜身，但大多数人似乎认为，如果它能阻止飞机被炸毁或避免街上满是可卡因，那么这个代价是很小的。T波对艺术史学家也很有用，因为他们可以揭示被多层石膏覆盖的壁画。制造商和商业运营商可以使用T波来检查产品，无须将其从盒子中取出。

电磁波谱的用途太多了，效果太好了，导致现在几乎在人类活动的所有领域都能感受到它的影响。利用它实现的很多东西在我们的祖辈看来都是奇迹。每个行业都需要大量人才，来将数学方程中蕴含的可能性转化为实实在在的小玩意儿和商业体系。但直到有人意识到电和磁能联合起来形成波之前，这一切都不可能实现。自那以后，从无线电和电视到雷达和移动电话的微波链路，琳琅满目的现代通信就不可避免地出现了。这一切都源于四个方程和几行基本的矢量微积分。

麦克斯韦方程组不仅改变了世界。它还打开了一个新世界。

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