图像梯度特征的常用算子：Sobel、Prewitt、Roberts_请根据下图分别写出sobel prewitt roberts 梯度算子的表达式

索贝尔算子（Sobel operator）主要用作边缘检测，在技术上，它是一离散性差分算子，用来运算图像亮度函数的灰度之近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的灰度矢量或是其法矢量。

 

Sobel卷积因子为：

 

该算子包含两组3x3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A代表原始图像，Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值，其公式如下：

 

 

具体计算如下：

Gx = (-1)*f(x-1, y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)

      +(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)

      +(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

= [f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

 

Gy =1* f(x-1, y-1) + 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)

      +0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)

      +(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) + 2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]

 

其中f(a,b), 表示图像(a,b)点的灰度值；

 

图像的每一个像素的横向及纵向灰度值通过以下公式结合，来计算该点灰度的大小：

 

通常，为了提高效率 使用不开平方的近似值：

 

如果梯度G大于某一阀值 则认为该点(x,y)为边缘点。

 

然后可用以下公式计算梯度方向：

 

 

 

Sobel算子根据像素点上下、左右邻点灰度加权差，在边缘处达到极值这一现象检测边缘。对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的边缘检测方法。
　　

 

普利维特算子(Prewitt operate)： 

除sobel边缘检测外 还有Prewitt算子， 它的卷积因子如下：

 

其他计算 和sobel差不多；

Prewitt算子利用像素点上下、左右邻点灰度差，在边缘处达到极值检测边缘。对噪声具有平滑作用，定位精度不够高。

 

罗伯茨交叉边缘检测（Roberts Cross operator）

卷积因子如下：

 

灰度公式为：

 

近似公式为：

 

具体计算如下：

G(x,y)=abs(f(x,y)-f(x+1,y+1))+abs(f(x,y+1)-f(x+1,y))

 

灰度方向 计算公式为：

 

 

Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值检测边缘。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感。