【动态规划】【前缀和】【和式变换】100216. K 个不相交子数组的最大能量值

本文涉及知识点

动态规划汇总
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

LeetCode 100216. K 个不相交子数组的最大能量值

给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个 正奇数 整数 k 。
x 个子数组的能量值定义为 strength = sum[1] * x - sum[2] * (x - 1) + sum[3] * (x - 2) - sum[4] * (x - 3) + … + sum[x] * 1 ，其中 sum[i] 是第 i 个子数组的和。更正式的，能量值是满足 1 <= i <= x 的所有 i 对应的 (-1)i+1 * sum[i] * (x - i + 1) 之和。
你需要在 nums 中选择 k 个 不相交子数组 ，使得 能量值最大 。
请你返回可以得到的 最大能量值 。
注意，选出来的所有子数组 不 需要覆盖整个数组。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,-1,2], k = 3
输出：22
解释：选择 3 个子数组的最好方式是选择：nums[0…2] ，nums[3…3] 和 nums[4…4] 。能量值为 (1 + 2 + 3) * 3 - (-1) * 2 + 2 * 1 = 22 。
示例 2：
输入：nums = [12,-2,-2,-2,-2], k = 5
输出：64
解释：唯一一种选 5 个不相交子数组的方案是：nums[0…0] ，nums[1…1] ，nums[2…2] ，nums[3…3] 和 nums[4…4] 。能量值为 12 * 5 - (-2) * 4 + (-2) * 3 - (-2) * 2 + (-2) * 1 = 64 。
示例 3：
输入：nums = [-1,-2,-3], k = 1
输出：-1
解释：选择 1 个子数组的最优方案是：nums[0…0] 。能量值为 -1 。

提示：
1 <= n <= 10⁴
-10⁹ <= nums[i] <= 10⁹
1 <= k <= n
1 <= n * k <= 10⁶
k 是奇数。

动态规划

动态规划的状态表示

iK$\in$[0,k)
pre[j]表示从nums[0…j)选择前iK-1个子数组组成的表达式的最大和。最后一个子数组以nums[j-1]结尾。
dp[j]表示从nums[0…j)选择前iK个子数组组成的表达式的最大和。最后一个子数组以nums[j-1]结尾。
状态数：O(nk)

利用和式变换简化动态规划的转移方程

假定第iK个子数组为nums[i…j]，maxK1[j] = $Ma{x}_{x:0}^j$pre[j]。
如果iK是偶数：
$$dp[j]=Ma{x}_{i:1}^j(MaxmaxK1[i-1]+Sum[\mathrm{0...}j]-Sum[\mathrm{0...}i-1])$$ $$\to Ma{x}_{i:1}^j(MaxmaxK1[i-1]-Sum[\mathrm{0...}i-1])+Sum[\mathrm{0...}j]$$
$$令max1(j)=Ma{x}_{i:1}^j(MaxmaxK1[i-1]-Sum[\mathrm{0...}i-1])$$
一个式子包括两个式子，分别用前缀和优化性质。
显然max1(j+1) = max( max1(j),MaxmaxK1[j] - Sum[0…j])
这是前缀和的基础。
如果iK是偶数：
$$dp[j]=Ma{x}_{i:1}^j(MaxmaxK1[i-1]+Sum[\mathrm{0...}i-1])-Sum[\mathrm{0...}j]$$
转移方程时间复杂度O(1)，故总时间复杂度O(nk)

动态规划的初始值

pre全部为0。

动态规划的填表顺序

ik从0到iK-1,j从1到n。

特例

由于 k <= n，故一定能拆分成k组，前iK组的和一定大于等于 -10¹³ ,我们用-10¹⁴表示非法。

代码

核心代码

class Solution {
public:
	long long maximumStrength(vector<int>& nums, int k) {
		m_c = nums.size();
		vector<long long> pre(m_c+1);
		for (int iK = 0; iK < k; iK++)
		{
			vector<long long> dp(m_c + 1, -1E14);
			if (1 & iK)
			{
				Odd(dp, pre, nums,k-iK);
			}
			else
			{
				Even(dp, pre, nums, k - iK);
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return *std::max_element(pre.begin(), pre.end());
	}
	void Odd(vector<long long>& dp, const vector<long long>& pre,const vector<int>& nums,const int x )
	{//奇数
		long long maxPre = -1E14,llMax = -1E14,llSum=0;
		for (int j = 1; j <= m_c ; j++)
		{//假定第iK个子数组是nums[i,j]，则最大值为：maxPre - sum[0...j] + sum[0...i)，llMax=第一项和第三项合并
			maxPre = max(maxPre, pre[j-1]);
			llMax = max(llMax, maxPre + llSum);//第iK个子数组，以nums[j]开头			
			llSum += (long long)nums[j-1]*x;
			dp[j] = llMax - llSum;			
		}
	}
	void Even(vector<long long>& dp, const vector<long long>& pre, const vector<int>& nums, const int x)
	{//偶数
		long long maxPre = (long long)-1E14, llMax = -1E14, llSum = 0;
		for (int j = 1; j <= m_c; j++)
		{//假定第iK个子数组是nums[i,j]，则最大值为：maxPre + sum[0...j] - sum[0...i)，llMax=第一项和第三项合并
			maxPre = max(maxPre, pre[j-1]);
			llMax = max(llMax, maxPre - llSum);//第iK个子数组，以nums[j]开头			
			llSum += (long long)nums[j - 1] * x;
			dp[j] = llMax + llSum;			
		}
	}
	int m_c;
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

测试用例

template<class T, class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}
int main()
{
	vect
	or<int> nums;
	int k;
	{
		Solution sln;
		nums = { -100000000, -10000000, 123, 234 }, k = 3;
		auto res = sln.maximumStrength(nums, k);
		Assert(-30000012, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,2,3,-1,2 }, k = 3;
		auto res = sln.maximumStrength(nums, k);
		Assert(22, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 12,-2,-2,-2,-2 }, k = 5;
		auto res = sln.maximumStrength(nums, k);
		Assert(64, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { -1,-2,-3 }, k = 1;
		auto res = sln.maximumStrength(nums, k);
		Assert(-1, res);
	}
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

优化

pre[j]表示从nums[0…j)选择前iK-1个子数组组成的表达式的最大和。最后一个子数组以nums[x]结尾,x$\in$[0,j)。

class Solution {
public:
	long long maximumStrength(vector<int>& nums, int k) {
		m_c = nums.size();
		vector<long long> pre(m_c + 1);
		for (int iK = 0; iK < k; iK++)
		{
			vector<long long> dp(m_c + 1, -1E14);
			long long maxAdd = -1E14, maxSub = -1E14,maxPre = -1E14;
			long long llSum = 0;
			for (int j = 1; j <= m_c; j++)
			{
				maxPre = max(maxPre, pre[j-1]);
				maxAdd = max(maxAdd, maxPre - llSum);
				maxSub = max(maxSub, maxPre + llSum);
				llSum += nums[j - 1]*(long long) ( k - iK );
				dp[j] = (iK & 1) ? (maxSub - llSum) : (maxAdd + llSum);
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return *std::max_element(pre.begin(), pre.end());
	}
	int m_c;
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

相关下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。