最长公共子序列问题（LCS）
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相关概念
子序列形式化定义：
给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,...,ik>对所有的1,2,3,...,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列
比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列
公共子序列定义：
如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列
最长公共子序列（以下简称LCS）：
2个序列的子序列中长度最长的那个
方法
蛮力法求解最长公共子序列：
需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(n³)，太慢了
动态规划求解最长公共子序列：
分析规律：
设X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他们的任意公共子序列
经过分析，我们可以知道：
1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS
2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS
3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS
所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下公式：
文字意思就是：
设
p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度
p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度
p表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长
p0表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度
如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等，则p0 = p + 1
如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等，则p0 = max(p1,p2)
做法：
因此，我们只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度
但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？
也是用一个二维数组b来表示：
在对应字符相等的时候，用↖标记
在p1 >= p2的时候，用↑标记
在p1 < p2的时候，用←标记
伪代码：
若想得到LCS，则再遍历一次b数组就好了，从最后一个位置开始往前遍历：
如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j--
如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j--
如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i--
如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符
比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:
灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符
下面演示下c数组的填表过程：（以求ABCB和BDCA的LCS长度为例）：
以此类推
最后填出的表为：
右下角的2即为LCS的长度
时间复杂度：
由于只需要填一个m行n列的二维数组，其中m代表第一个字符串长度，n代表第二个字符串长度
所以时间复杂度为O（m*n）
代码：
/**********************************************************************
最大公共子序列：
最大公共子序列长度：int Lcs_length( char *str1, char *str2, int **c, int **b)
输出最大公共子序列：void Print_Lcs( char *str, int **b, int i, int j)
输出最大公共子序列长度及最大公共子序列：void Find_Lcs( char *str1, char *str2)
时间复杂度：构建矩阵花费了O(MN)的时间，回溯时花费了O（M+N)的时间，两者相加最终花费了O(MN)的时间。
空间复杂度：构建矩阵花费了O(MN)的空间，标记函数也花费了O(MN)的空间，两者相加最终花费了O(MN)的空间。
************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define EQUAL 1 //EQUAL表示c[i][j]是由c[i-1][j-1]+1来的=====此时两个序列有相同的字符
#define UP 2 //UP表示c[i][j]是由c[i-1][j]来的============此时两个序列没有相同的字符
#define LEFT 3 //LEFT表示c[i][j]是由[ci][j-1]来的==========此时两个序列没有相同的字符
/**************************************************************
函数：int Lcs_length( char *str1, char *str2, int **c, int **b)
输入： str1: 待比较字符串1
str2: 待比较字符串2
**c: 储存最大公共子序列长度
**b: 储存最大公共子序列检索路径
返回值：str1和str2最大公共子序列
时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(mn)
***************************************************************/
int Lcs_length( char *str1, char *str2, int **c, int **b)
{
int len1 = strlen(str1),
len2 = strlen(str2);
int i,j;
for( i = 1; i <= len1; i++)
c[i][0] = 0;
for ( j = 0; j <= len2; j++)
c[0][j] = 0;
for( i = 1; i <= len1; i++)
for( j = 1; j <= len2; j++)
{
/*******************************
使用i-1和j-1
算法导论书上写的是比较str1[i]和str[j]，但是算法导论书上的两个序列下标是由1开始的
这里使用i-1以及j-1是由于数组的下标从0开始
********************************/
if( str1[i-1] == str2[j-1] )
{
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
b[i][j] = EQUAL;
}
else if (c[i-1][j] >= c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = UP;
}
else
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = LEFT;
}
}
return c[len1][len2];
}
/**************************************************************
函数：void Print_Lcs( char *str, int **b, int i, int j
str: 待比较字符串1
**b: 储存最大公共子序列检索路径
i: 待比较字符串1的长度
j: 待比较字符串2的长度
返回值：无
打印值：输出字符串1和字符串2的最长公共子序列
时间复杂度：O(m+n)
空间复杂度：O(m+n)
***************************************************************/
void Print_Lcs( char *str, int **b, int i, int j)
{
if( i == 0 || j == 0)
return;
if( b[i][j] == EQUAL)
{
Print_Lcs(str, b, i - 1, j - 1);
printf("%c ", str[i-1]);
}
else if ( b[i][j] == UP )
Print_Lcs(str, b, i - 1, j);
else
Print_Lcs(str, b, i , j - 1);
}
/**************************************************************
函数：void Find_Lcs( char *str1, char *str2)
str1: 待比较字符串1
str2: 待比较字符串2
返回值：无
打印值：输出最大公共子序列长度以及最大公共子序列
时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(mn)
***************************************************************/
void Find_Lcs( char *str1, char *str2)
{
int i,j,length;
int len1 = strlen(str1),
len2 = strlen(str2);
//申请二维数组
int **c = (int **)malloc(sizeof(int*) * (len1 + 1));
int **b = (int **)malloc(sizeof(int*) * (len1 + 1));
for( i = 0; i<= len1; i++ ) 这个等号之前没加，导致内存泄漏
{
c[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (len2 + 1));
b[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (len2 + 1));
}
//将c[len1][len2]和b[len1][len2]初始化为0
for ( i = 0; i<= len1; i++)
for( j = 0; j <= len2; j++)
{
c[i][j] = 0;
b[i][j] = 0;
}
//计算LCS的长度
length = Lcs_length(str1, str2, c, b);
printf("The number of the Longest-Common-Subsequence is %d\n", length);
//利用数组b输出最长子序列
printf("The Longest-Common-Subsequence is: ");
Print_Lcs(str1, b, len1, len2);
printf("\n");
//动态内存释放
for ( i = 0; i <= len1; i++)
{
free(c[i]);
free(b[i]);
}
free(c);
free(b);
}
int main()
{
char x[10] = "abcdefghi";
char y[10] = "bdegihbjk";
Find_Lcs(x,y);
system("pause");
}
