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【数据结构】二叉树 (Binary Tree)_binarytree库

作者：我家小花儿 | 2024-05-02 05:02:54

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binarytree库

一. 什么是树？

二. 二叉树

特殊二叉树
二叉树的性质
二叉树的存储
二叉树的遍历
二叉树的基本操作

一.什么是树？

之前咱们学习了一些简单的数据结构，如顺序表，链表，这些都是线性结构，线性结构的特点是结构中的数据元素之间是一对一的关系

而今天咱们需要接触一个树型的数据结构——二叉树

首先，什么是树型结构？

树形结构中的数据元素之间存在一种一对多的层次关系

树型结构反映了数据元素之间的层次关系和分支关系，非常类似于自然界中的树。树型结构在现实生活中广泛存在，如企业的组织结构图等。另外，在计算机科学中亦具有广泛的应用，如编译程序中源程序的语法结构就是用树型结构来表示的;数据库系统中也采用树型结构组织信息。

树的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
树的定义其实就是我们在讲解栈时提到的递归的方法。也就是在树的定义之中还用到了树的概念，这是一种比较新的定义方法。图中的子树T1和子树T2就是根结点A的子树。

对于树的定义还需要强调两点:

1. 根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，别和现实中的大树混在一起，现实中的树有很多根须，那是真实的树，数据结构中的树是只能有一一个根结点。
2. 子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

需要重点记住：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

有关树的一些概念的总结：

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：高度是树中结点的最大层次，相当于最大深度；深度相当于层数

树的以下概念仅作了解，用的不多

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

对比线性表和树的结构，它们有很大的不同

树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

首先我们把树抽象化


class Node {
   int value; // 树中存储的数据
   Node firstChild; // 第一个孩子引用
   Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

我们引用一张图来搭配着看这个代码

如果child和brother不指向另一个，则它们为null，如A的brother的值就是null

其它表示方法我们后续再介绍

二.二叉树

下面我们正式来介绍二叉树

二叉树( Binary Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

通常对于在某个阶段都是两种结果的情形，比如开和关、0和1、真和假、上和下、对与错，正面与反面等，都适合用树状结构来建模，而这种树是一种很特殊的树状结构，叫做二叉树。

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点(每个节点最多两个子树)
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊二叉树

我们再来介绍一些特殊的二叉树。这些树可能暂时你不能理解它有什么用处，但先了解一下，以后会提到它们的实际用途。

1.斜树

顾名思义，斜树一定要是斜的，但是往哪斜还是有讲究。所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。下图中的树分别就是左斜树和右斜树。斜树有很明显的特点，就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。

2.满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树

单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同
一层上，这就做到了整棵树的平衡。因此，满二叉树的特点有:
(1)叶子只能出现在最下一-层。出现在其他层就不可能达成平衡。
(2)非叶子结点的度- -定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。
(3)在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

3.完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i (1<i≤n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树，如图所示

注：这里有个关键词是按层序编号 如果编号是连续的，那么它是完全二叉树。

也就是说树。因此，在完全二叉树中，若某个结点没有左儿子，则它-一定没有右儿子，即该结点必是叶结点。

我们重点介绍一下

上图中因为5结点没有左子树，却有右子树，那就使得按层序编号的第10个编号空档了。所以它不是完全二叉树

图中又是因为5编号下没有子树造成第10和第11位置空档。所以不是完全二叉树

由于编号连续，所以是完全二叉树

那么现在，我想你一定对满二叉树、完全二叉树的概念有了一些了解

二叉树的性质

下面我们来学习一下二叉树的性质，二叉树有一些需要理解并记住的特性，以便于我们更好地使用它。

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^(k-1) (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度 k 为 log2(n+1)上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若孩子结点的序号为i，若i>0，则双亲序号：(i-1)/2；若i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若父亲结点的序号为i若 2i+1<n，则左孩子序号：2i+1，否则无左孩子；若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

注：

对于性质3的推导，需要用到边和结点的个数的关系，分别看n0、n1、n2的边数

二叉树的存储

对于二叉树的存储，由于树是一种一对多的关系结构。所以顺序存储实现树是比较困难的，但是二叉树是一种特殊的树，由于它的特殊性，使得用顺序存储结构也可以实现，但目前我们先不对顺序存储实现二叉树做过多的叙述，因为对于二叉树的存储，顺序存储的适用性并不强，用的最多的往往是链式存储结构，下面我们就来介绍二叉树的链式存储（二叉链表）

叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计-一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。结点结构图如表所示。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下


// 孩子表示法
class Node {
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
 
// 孩子双亲表示法
class Node {
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
  Node parent; // 当前节点的根节点
}

我们可以把两种方法抽象化

孩子表示法其实就是由下图这样的结点一个一个组成的

那么每个结点之间是怎么建立连接的呢，我们简单画个示意图

结构示意图如图所示

孩子双亲表示法

也就是多了一个存储双亲结点的引用

孩子双亲表示法后续会在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树

由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

下面我们试着创建一个这样的二叉树


public class BinaryTree {
    static class TreeNode{
        public char val;
        public TreeNode left;//左孩子的引用
        public TreeNode right;//右孩子的引用
        public TreeNode(char val){
            this.val = val;
        }
    }
 
    public TreeNode root;//根结点
 
    public void createTree(){
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');
 
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
 
        root = A;
 
    }

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解

二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序/先根遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

前序遍历：访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树、再前序谝历右子树。

遍历的顺序为: ABDGHCEIF

中序遍历：根的左子树--->根节点--->根的右子树，规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。

遍历的顺序为: GDHBAEICF。

后序遍历：根的左子树--->根的右子树--->根节点。规则是若树为空，则空操作返回，否则丛左到有先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。

遍历的顺序为: GHDBIEFCA

层序遍历

除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

练习：根据以上二叉树的遍历方式，给出以下二叉树的

前序：ABDEHCFG

中序：DBEHAFCG

后序： DHEBFGCA

层序：ABCDEFGH

我们可以通过几个题目巩固一下

用代码实现三种遍历（递归、非递归）


import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
public class BinaryTree {
    static class TreeNode{
        public char val;
        public TreeNode left;//左孩子的引用
        public TreeNode right;//右孩子的引用
        public TreeNode(char val){
            this.val = val;
        }
    }
    //public TreeNode root;//根结点
 
    /**
     * 创建一棵二叉树 返回这棵树的根结点
     * @return 根结点
     *
     */
    public TreeNode createTree(){
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');
 
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
 
        return A;
    }
   // 前序遍历（递归，无返回值）
    public void preOrder(TreeNode root){
        if(root == null)return;
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
    //前序遍历（递归，有返回值）
    public List<Character> preorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Character> ret = new ArrayList<>();
        if(root==null)return ret;
        ret.add(root.val);
 
        List<Character> leftTree = preorderTraversal(root.left);
        ret.addAll(leftTree);
 
        List<Character> rightTree = preorderTraversal(root.right);
        ret.addAll(rightTree);
 
        return ret;
    }
 
    //前序遍历（非递归）
    public List<Character> preorderTraversalNor(TreeNode root) {
        List<Character> list = new ArrayList<>();
        if(root==null) return list;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while (cur!=null){
                stack.push(cur);
                list.add(cur.val);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
        return listist;
    }
 
 
    // 中序遍历（递归，无返回值）
    public void inOrder(TreeNode root){
        if (root==null)return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }
    //中序遍历（递归，有返回值）
    public List<Character> inorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Character> ret = new ArrayList<>();
        if(root==null)return ret;
 
        List<Character> leftTree = inorderTraversal(root.left);
        ret.addAll(leftTree);
 
        ret.add(root.val);
 
        List<Character> rightTree = inorderTraversal(root.right);
        ret.addAll(rightTree);
 
        return ret;
 
    }
    //中序遍历（非递归）
    public List<Character> inorderTraversalNor(TreeNode root) {
        List<Character> list = new ArrayList<>();
        if(root==null) return list;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while (cur!=null){
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            list.add(top.val);
            cur = top.right;
        }
        return list;
    }
    // 后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root){
        if (root==null)return;
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }
 
    //后序遍历（递归，有返回值）
    public List<Character> postorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Character> ret = new ArrayList<>();
        if(root==null)return ret;
 
        List<Character> leftTree = postorderTraversal(root.left);
        ret.addAll(leftTree);
 
        List<Character> rightTree = postorderTraversal(root.right);
        ret.addAll(rightTree);
 
        ret.add(root.val);
 
        return ret;
    }
    //后序遍历（非递归）
    public List<Character> postorderTraversalNor(TreeNode root) {
         List<Character> list = new ArrayList<>();
         if(root==null) return list;
         Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
         TreeNode cur = root;
         TreeNode prev = null;
         while (cur!=null || !stack.empty()) {
             while (cur != null) {
                 stack.push(cur);
                 cur = cur.left;
             }
             TreeNode top = stack.peek();
             if (top.right == null || top.right == prev) {
                 stack.pop();
                 list.add(top.val);
                 prev = top;//记录一下最近一次被打印的结点，防止重复打印
             } else {
                 cur = top.right;
             }
         }
         return list;
    }

二叉树的基本操作


// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
 
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
 
// 子问题思路-求叶子结点个数
 
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root);
 
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
 
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
 
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
 
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);

代码


   public static int nodeSize;
    // 获取树中节点的个数（遍历思路）
    public int size1(TreeNode root){
        if(root==null)return 0;
        nodeSize++;
        size1(root.left);
        size1(root.right);
        return nodeSize ;
    }
    // 获取树中节点的个数（子问题思路）
    //结点数 = 左树 + 右树 +1
    public int size2(TreeNode root) {
        if(root==null)return 0;
        return size2(root.left)+size2(root.left)+1;
    }
 
    public int leafSize;
    // 获取叶子节点的个数（遍历思路:满足叶子节点就++）
    public int getLeafNodeCount1(TreeNode root){
        if(root == null) return 0;
        if(root.left==null && root.right==null) leafSize++;
        getLeafNodeCount1(root.left);
        getLeafNodeCount1(root.right);
        return leafSize;
    }
 
    // 获取叶子节点的个数（子问题思路：左树叶子结点+右树叶子节点）
    public int getLeafNodeCount2(TreeNode root){
        if(root == null) return 0;
        if(root.left==null && root.right==null) return 1;
        return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);
    }
    // 获取第K层节点的个数(左树 k-1 层个数 + 右树 k-1 层个数 )
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        if(root == null) return 0;
        if(k == 1) return 1;
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }
    // 获取二叉树的高度（左树、右树高度的最大值+1）
    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root==null) return 0;
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1 ;
    }
    // 检测值为value的元素是否存在
   public TreeNode find(TreeNode root, int val){
        if(root==null)return null;
        if(root.val==val) return root;
        TreeNode ret = find(root.left,val);
        if(ret!=null){
            return ret;
        }
        ret = find(root.right,val);
        if(ret!=null){
            return ret;
        }
        return null;
    }
    //层序遍历（非递归:用队列）
    public void levelOrder(TreeNode root){
        if(root == null)return;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val+" ");
            if(cur.left != null) queue.offer(cur.left);
            if(cur.right != null) queue.offer(cur.right);
        }
    }
//层序遍历（返回其节点值的 层序遍历）
    public List<List<Character>> levelOrder2(TreeNode root){
        List<List<Character>> ret = new ArrayList<>();
        if(root == null) return ret;
 
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
 
        while (!queue.isEmpty()){
            int size = queue.size();
            List<Character> list = new ArrayList<>();//每一层
 
            while (size!=0){
                TreeNode cur = queue.poll();
                list.add(cur.val);
                size--;
                if(cur.left!=null) queue.offer(cur.left);
                if(cur.right!=null) queue.offer(cur.right);
            }
            ret.add(list);//每一层
        }
        return ret;
    }
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    //把一个结点从队列中弹出的时候，把它的左结点和右结点入队，依次这样循环操作
    //当有null弹出，如果队列中剩下的全部都是null，则为完全二叉树，如果不全是则不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root){
        if(root==null) return false;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.poll();
            if(cur!=null){
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else{
                break;
            }
        }
        //第二次遍历队列 判断队列中是否有不为空的元素
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.peek();
            if (cur == null) {
                queue.poll();
            } else {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

好了，关于二叉树先介绍这么多，我们准备了一些题目帮助你更好地理解二叉树

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