计算智能——基于蚁群算法的TSP问题

1. 蚁群算法

1.1 基本原理

将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。
蚁群算法是对自然界蚂蚁的寻径方式进行模似而得出的 一种仿生算法：蚂蚁在运动过程中，能够在它所经过的路 径上留下信息素(pheromone)的物质进行信息传递，而且 蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质，并以此指导自己的运动方向。
由大量蚂蚁组成的蚁群集体行为便表现出一种信息正反馈 现象：某一路径上走过的蚂蚁越多，则后来者选择该路径 的概率就越大。

1.2 算法流程

在ACO 算法中，人工蚂蚁实际上代表的是一个解的随机构 建过程，从最初的空解开始，通过不断地向部分解添加解 的成分而构建出一个完整的解
AS算法对TSP的求解主要有两大步骤：
1、路径构建

2、信息素更新

2. 准备TSP数据

2.1 随机生成TSP数据

%命令行输入：
citys=rand（50,2）*5000；
%更改当前工作区中的citys变量
1
2
3

使用rand函数生成了在范围在[0,5000]的50*2的二维double类型变量。
该操作随机生成了50个城市数据作为蚁群算法的数据。

2.2 保存.mat文件

将更改变量citys后的工作区数据保存到new_citys.mat中
在下一次运行时加载new_citys.mat文件即可得到新的citys变量
随后对生成的有50个城市数据的进行蚁群算法即可。

3. 运行结果

3.1 原始数据的运行结果

最短距离:15443.194
最短路径:1  29  30  31  27  28  26  25  24  20  21  22  18   3  17  19  23  11   6   5  16   4   2   8   9  10   7  13  12  14  15   1
>> 
1
2
3

可以由运行结果看到原始城市数据的AOC算法在迭代了100次之后最短距离和平均距离趋于稳定。

3.2 随机生成数据的运行结果

最短距离:26430.2474
最短路径:21  30  34   8  17  38  50  27  20  42  37  22  16  32   4  39  41  10  11  28  48   9  45  35  49  31   3  12  40  46  19  13  29  25  15   1   6  43  47   2  23   5  26  24  36  18  44  14  33   7  21
>> 
1
2
3

可以由运行结果看到对于50个城市数据的AOC算法在迭代了100次之前最短距离和平均距离趋于稳定。

4. alpha、beta、rho参数的设置

alpha: 信息素重要程度因子
beta：启发函数重要程度因子
rho：信息素挥发因子

4.1 参数alpha调整的运行结果及结论

对于参数值alpha的调整最初以每次加1的方式进行测试，但发现变化并不明显，随即加大了调整区间，以下为运行结果：

1. alpha=1
   
2. alpha=3
   
3. alpha=5
   
4. alpha=10
   
5. alpha=15
   

由运行结果分析可得：
a. 当参数alpha的值越大，其收敛速度越快，可以看到当alpha为5，10，15时都在迭代进行到50代附近趋于稳定。收敛速度较alpha为1，3时比较快。又可以得到当参数alpha的值大于5以上的迭代效果变化并不明显，陷入了一种无法优化的局面，所以参数alpha的值也不宜过大。
b.息素重要程度因子alpha反映蚂蚁在运动过程中所积累的信息量在指导蚁群搜索中的相对重要程度，其值越大，蚂蚁选择以前走过路径的可能性就越大，搜索的随机性减弱；而当alpha值过小时，则易使蚁群的搜索过早限于局部最优。
c. 蚁群算法中启发因子α对算法性能有很大的影响。alpha过小时，收敛速度慢，而且算法易陷入局部最优解；alpha过大时，局部最优路径上 的正反馈作用很强，算法会出现过早收敛。

4.2 参数beta调整的运行结果及结论

1. beta=5
   
2. beta=1
   
3. beta=3
   
4. beta=8
   
5. beta=10
   
   a. 参数beta向下调整的时候收敛效果极其不好，然而向上调整的时候可以看到其收敛速度很快在beta=10时在第50次迭代的时候就趋于稳定。
   b. 启发函数重要程度因子beta反映了启发式信息在指导蚁群搜索过程中的相对重要程度，其大小反映了蚁群寻优过程中先验性、确定性因素的作用强度。
   c. 经查阅资料可得：β 越大，则蚂蚁在某个局部点上选择局部最短路径的可能性越大，但蚁群搜索最优路径的随机性减弱，易陷入局部最优。β过小 ，蚂蚁群体陷入纯粹的随机搜索，致使很难找到最优解；β过大， 算法收敛性能有变差的趋势。

4.3 参数rho调整的运行结果及结论

1. rho=0.1
   
2. rho=0.05
   
3. rho=0.01
   
4. rho=0.30
   
5. rho=0.50
   
   a. 由运行结果可得：信息素挥发因子rho为0.01、0.05、0.3、0.5时的收敛速度都要比其值为0.1时的速度要快。
   b. 经查阅资料可得：信息素挥发因子rho对算法的影响具有双重性,当rho较小时，未被选中路径上的信息量将迅速衰减，这使搜索空间减小，算法陷入局部最优的可能性加大而算法的收敛性提高；另一方面，被选路径上的信息量增量减小，这使搜索空间增大，算法陷入局部最优的可能性减小，而算法的收敛性降低。

5. 源码参考

%% 旅行商问题(TSP)优化
%% 清空环境变量
clear all
clc
%% 导入数据
load new_citys.mat
%% 计算城市间相互距离
fprintf('Computing Distance Matrix... \n');
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;      
        end
    end    
end
%% 初始化参数
fprintf('Initializing Parameters... \n');
m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 10;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.5;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 150;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  
%% 迭代寻找最佳路径
figure;
while iter <= iter_max
    fprintf('迭代第%d次\n',iter);
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 构建解空间
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + 
Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表
 %   figure;
 %最佳路径的迭代变化过程
    [Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
    Shortest_Route = Route_best(index,:);
    plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
    [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
    pause(0.3);
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);
 % end
end
%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

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