数据结构 - 学习笔记 - 红黑树前传——234树

简介

234树——234Trees
在学习红黑树前需要先了解234树。因为红黑树就是由234树演变出来的。(红黑树是234树的一种实现)
了解了234树才能明白红黑树旋转和颜色变化的底层逻辑。

结点类型

红黑树对应关系图示

1. 上图中没有画出具体的子结点 仅用虚线框标识了一下子结点的取值范围。
2. 不难看出，只要将红黑树中的红结点向上一提，与父结点合并，就反推出了234树。
3. 同时根据3结点的特性，可以看出234树与红黑树是一对多的关系。
4. 在平时分析红黑树时，可以直接在脑海里映射成234树来分析。这样变化，旋转操作就有据可依，而不是死记硬背了。

插入

插入规则

插入步骤整体演示

先看一下演示，后面还有对 2, 3, 4 结点的分别说明。
下图演示了234树的插入步骤，以及触发分裂的效果。（新插入的元素，按红黑树规则标为红色）

下图对应234树插入步骤，在右侧列出对应的红黑树。因为3结点转红黑树存在两种情况，所以按排列组合方式一一列出。
对照前文的与红黑树对应关系，可以看到黑红颜色背后的逻辑来源于234树。

2, 3, 4 结点分别说明

1. 在2结点插入

2结点插入新值，直接升级为3结点，无需任何调整。

2. 在3结点插入（红黑树旋转+变色）

3结点插入新值，直接升级为4结点，无需任何调整。
但在3结点对应的红黑树中，可能出现不平衡的情况。需要旋转调整实现平衡。

1. 旋转方向的逻辑可以想象天平。左边重了往右挪（旋），右边重了往左挪（旋）。
2. 从上图可以看到有3个位置能插入子结点。对应 6 种红黑树的情形。
3. 其中有2种是平衡的，无需调整。剩下4种 需要通过旋转+变色实现平衡。

3. 在4结点插入（红黑树变色）

3.1. 从234树→红黑树

先简单的把 4结点 与 红黑树 对应关系，罗列出来。根据新结点插入的位置不同，对应的红黑树也有所差异：

对应上图的步骤序号。

1. 原234树为 ③⑤⑦。
2. 插入新元素。将要触发分裂。
3. 先分裂。然后按新值大小，找到插入位置，与原有的2结点 合并成为3结点
   3.1. 中值上提为父结点，如果原本有父结点，分裂出去的结点，与原父结点合并。
   3.2. 如果原来的父结点也是一个4结点，将递归触发分裂。
   3.3. 剩下两个结点，小的为左，大的为右。
4. 234树结点转红黑树结点。
   4.1. 所有 2结点 变为黑色。
   4.2. 3结点 展开，上黑下红。

3.2. 触发分裂

单独分析一下触发分裂效果。

1. 从左向右：演示了从234树的角度来染色的逻辑。
2. 从右向左：演示了从红黑树的角度来染色的公式。
3. 如果当前操作的只是一颗子树。比如祖父结点②也是红色，则出出了②⑤两个连续的红结点，需要递归处理，直至根。

3.3. 对应红黑树有4种情形需要变色实现平衡

1. 【234树】 插入新元素。将要触发分裂。
2. 【234树】 先分裂。然后找到待插入的目标位置，与原有的2结点 合并成为3结点
3. 【红黑树】 这是一个过度状态，为了便于观察才把它画出来。（3结点展开，但未调色，暂时还保持着不平衡的状态，便于观察）
4. 【红黑树】 父和叔伯结点变黑，祖父结点变红。
   4.1. 父结点与祖父结点调换颜色：满足红结点子必黑的定义。同时对于插入新结点的这一路径来说黑结点数未发生变化。
   4.2. 叔伯结点变成黑色：祖父结点原本作为公共的黑结点，挪给左路后，右路就少了一个黑结点。因此 叔伯要站出来变黑维持平衡。
5. 【红黑树】 最后祖父结点更新为当前结点。
   5.1. 判断曾祖是否为红色。如果是，则需要向上递归调整颜色，一直到根。
   5.2. 如果是根，直接染黑。

删除

删除操作：根据删除目标所在位置不同，共有几种情况需要分别处理。

删除规则

1. 删除目标有子结点

1. 找到目标的前驱或后继结点。
2. 将目标与前驱或后继交换。
3. 交换后目标转变成了无子结点，按无子结点删除规则处理。

2. 删除目标无子结点

1. 目标在4结点中，删除后变成3结点。
2. 目标在3结点中，删除后变成3结点。
3. 目标是2结点，有三种情况：
   3.1. 兄弟是3结点或4结点。
   3.2. 两个兄弟结点都是2结点，但父结点是3结点或4结点。
   3.3. 兄弟和父结点都是2结点。

2, 3, 4 结点分别说明

1. 在4结点删除

删除一个元素，变成3结点。保持平衡。
4结点 的删除，如果忽略掉它的兄弟结点。本质上还是一个3结点的删除。
对应红黑树：

• 红结点：直接删除即可。
• 黑结点：删除黑结点，红结点补位，并变成黑色。

1. 234树结点，蓝色 标出是要删除的目标。
2. 转为对应的红黑树。
3. 删除目标结点。
4. 如果删的是父结点。子结点上移补位。
5. 补上来的结点染成原父结点的颜色。如果是根结点 直接填充黑色。（虽然单看234树转过来的这个局部，父结点必定是黑色。但在一个完整红黑中，父结点有可能是红色）

2. 在3结点删除

删除一个元素，变成2结点。保持平衡。

• 红结点：直接删除即可。
• 黑结点：删除黑结点，红结点补位，并变成黑色。

1. 原234树结点，蓝色 标出是要删除的目标。
2. 转为对应的红黑树。
3. 删除目标结点。
4. 如果删的是父结点。子结点上移补位。
5. 补上来的结点染成原父结点的颜色。如果是根结点 直接填充黑色。

3. 在2结点删除

删除结点后，当前位置空出，红黑树失去平衡。需要向父兄结点借元素借兵补充。

3.1. 兄弟是3或4结点

1. 通过从兄弟节点借调元素，将2节点转变为3节点。（通过左旋或右旋实现转变。）
2. 然后按2、3节点规则删除目标。

3.2. 兄弟都是2结点，父是3或4结点

1. 向父结点借来 ④，合并出新的结点 [③, ④, ⑥]。
2. 按4结点规则删掉目标。

3.3. 父兄结点都是2结点

1. 向父借来元素，合并出新的4结点。
2. 按4结点规则删掉目标。

如果当前是子树，则父结点需要递归向上借调。

总结

1. 可以将红黑树看作是234树的一个具体实现。
2. 一颗234树可以对应多个234树。（因为 3结点 对应 红黑树 时可以左倾，也可以右倾）
3. 明明是包含123个元素的结点，为什么不叫123树而叫234树。我的理解是：因为树的特性就是分叉，结点的命名是按它的分叉能力来的（而不是按结点包含的元素个数）。n结点就是能分n个叉的结点。（吐槽：真是跟制动有异曲同工之妙。但是二叉树,二叉树叫的又那么顺口，好吧，当我没说。）
4. 234树 就是 4阶B树(four-order balance tree)。也就是允许结点最多有4个子结点的平衡多路查找树。
5. 234树 是倒着长的。新元素插入到叶子，然后触发分裂向上提升元素成为父结点。
   5.1. 如果原本有父结点，则与父结点合并。
   5.2. 如果满足条件还会递归触发分裂，后面都会详细讲。

参考资料

笑虾：数据结构 - 学习笔记 - 红黑树
2-3-4 Trees