P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列 题解_一个数组长为 nn,有一个可以框柱 kk个元素的滑动窗口,输出 (n-k+1)(n k+1)个数

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原题链接

简要题意：

给定一个数组，求所有连续 $m$ 个数的最大值和最小值。

首先，对于这种题目，用 $5+$ 种方法（至少），这里介绍几种吧。

算法一

根据 $\text{RMQ}$ 算法解决问题。

用 $f_{i,j}$ 表示从 $i$ 开始往后 $2^j$ 个的最大值。（$2^j>n$ 则视为 $n$）

那么，显然有：

f i , j = { a i , j = 0 f f i , j − 1 , j − 1 , j ≠ 0 f_{i,j} =

$$\begin{cases} a_i , j=0 \\ f_{f_{i,j-1},j-1} , j \not = 0 \\ \end{cases}$$ fi,j​={ai​,j=0ffi,j−1​,j−1​,j​=0​

其中，$f_{i,j-1}$ 即往后先走 $2^{j-1}$ 个， 再走 $2^{j-1}$ 个，类似于 倍增 算法。

然后，预处理 $\log$，即可 $O(n\log n)$ 初始化，$O(1)$ 回答。

时间复杂度：$O(n\log n+k)$.

期望得分：$50pts$ ~ $100pts$.（取决于程序常数，听说这道题目 卡任何带 $\log$ 的算法，不知道能不能卡过去）

算法二

分块，本题效率最慢的算法。

请不要轻看它，不信？ 还有这个贴

显然，分成 $\sqrt{n}$ 块，对每块分别计算，对于 $n-k+1$ 个块分别询问。

时间复杂度：$O((n-k+1)\sqrt{n})$， 如果是极限数据 $n=10^6$，$k=1$ 就直接卡掉了。（$k$ 很小就可以）

期望得分：$50pts$ ~ $100pts$.

实际得分：$92pts$.（有人实测过，卡常得高分）

算法三

线段树，在分块与 $\text{RMQ}$ 之间。

这题的算法上有线段树但是过不了。。。

不用说了吧，模板在此.

时间复杂度：$O(n\log n+k\log n)$. （显然被卡超时，不过：）

期望得分：$50pts$ ~ $100pts$.

实际得分：$92pts$.（真·卡常大法好）

算法四

指令集。？？？

洛谷日报——指令集

学习完之后，相信你能随便用一个数据结构（甚至是暴力？？？）切掉本题！

时间复杂度：$O(n^2)$ ~ $O(n\log n+k\log n)$ ~ $O(n\log n+k)$.

期望得分：$100pts$.

实际得分：$92pts$ ~ $100pts$.（众所周知数据加强过一次，要是加强之前交没准就过了，不然没准被卡）

算法五

扯了这么多。。终于到正题了！

单调队列 为什么叫这么名字，它不是白叫的好吧 像平衡树要是不平衡那要它干么呢 。

假设，现在一个君王他叫做 $CCF$（$CCF=\text{Centre Code Forces}$），有 $8$ 名选手，她们（对，就是她）的才华值分别为：

1 3 -1 -3 5 3 6 7
1

她们从左往右依次是：zhk,yy,kkk,bfw,gyx,cz,wxq,rxz.

然后，他们参加 $CCF$ 比赛的年龄分别为 $8$ ~ $1$ 岁。（嗯？没错）

$CCF$ 有一个 怪癖：只要一个选手参加 $CCF$ 比赛超过 $3$ 年，她（？）就觉得该选手没有潜力了。

• zhk 在 $8$ 岁的时候进入了，他发现没有一个人比他更厉害，所以他留下来了。

• yy 在 $7$ 岁的时候也进入了 $CCF$ 比赛，并把 zhk 踢下去，因为 $3>1$. zhk 想：他比我小还比我强，我退役吧，然后就退役了。

• kkk 在 $6$ 岁时一来，发现被 yy 吊打了（$3>-1$），但是他想：你比我强，但是我比你小，我更有潜力，我活的比你久，没准等你退役我就是老大！ 于是留了下来。然后，$\text{CCF Round 1}$ 冠军产生：yy.

• bfw 一看：嗯？怎么前面的人都比我强啊？事实 然后他觉得，自己留下来的时间更久，等她们都退役再说。 于是留了下来。$\text{CCF Round 2}$ 冠军产生：yy.

• gyx 来了之后，他发现自己是最强的 $5>3$，然后所有的人（除了她）都觉得 有人比我小还比我强，集体退役。yy 又遭到 $CCF$ 的潜力质疑，精神病发作了。$\text{CCF Round 3}$ 冠军产生：gyx.

• cz 来了之后，嗯发现自己是最弱的，但是她想： CCF质疑 gyx 比我前，所以我比她活得长！活得长就是报仇，所以要留下来！$\text{CCF Round 4}$ 冠军产生：gyx.

• wxq 一到，瞬间 吊打集训队，吊打全场然后 gyx 和 cz 一起退役了。$\text{CCF Round 5}$ 冠军产生：wxq.

• 最后 rxz 到了，结束了 wxq 的 $CCF$ 生涯，把她弄自闭然后滚出集训队了。（我才不会告诉你 rxz 就是 $CCF$ 出题人） $\text{CCF Round 6}$ 冠军产生：rxz.

若干年过去了，$\text{CCF}$ 决定：分数越低的人得奖越高，那些强者实在弱不下来，于是又开始了第二场 互逼退役 的旅程。。

综上可见，单调队列的过程本质就是一个维护队列的过程，参加 $CCF$ 则入队，退役则出队。

显然，如果用系统的 $\text{queue}$ 写会多出一个 $\log$，然后变成 $O(n\log n)$ 级别，沦为和上述数据结构一样的。（智商不够，数据结构来凑）

所以今天我们用 手写队列，用 $l,r$ 指针维护当前在队列中的元素。

时间复杂度：$O(n+k)$.

实际得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int n,m,a[N];
int q[N],p[N]; //q[i] 记录数值 , p[i] 记录编号

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]); puts("");
	int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(l<=r && q[r]>=a[i]) r--; //新来的人先吊打掉一波
		q[++r]=a[i]; p[r]=i;
		while(p[l]<=i-m) l++; //被质疑的可以直接退役
//		printf("%d %d\n",l,r);
		if(i>=m) printf("%d ",q[l]);
	} puts(""); l=1;r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(l<=r && q[r]<=a[i]) r--;
		q[++r]=a[i]; p[r]=i;
		while(p[l]<=i-m) l++;
		if(i>=m) printf("%d ",q[l]);
	}  //这边同理
	return 0;
}

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