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Yalmip使用学习 配置cplex求解器 实例

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yalmip学习

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yalmip学习

yalmip简介

什么是yalmip

 yalmip安装方式

使用yalmip求解优化问题的步骤

1.yalmip求解优化问题的四部曲

1.1 创建决策变量

1.2 添加约束条件

1.3 参数配置

1.4 求解问题

1.5 几个常用的其它指令

2.举两个小栗子

2.1 简单例子(求最小值)

2.2  简单例子(求最大值)

2. 3  配置cplex求解器  简单例子(求最大值)

2. 4  配置cplex求解器  简单例子(求最小值)

3.YALMIP符号变量

1.1定义一个n行m列矩阵(或标量)的方法如下:

1.2方阵默认为对称阵。若需要定义一个完全参数化(即不一定对称)的方阵,还需要输入第三个参数:

1.3如果在上述代码中省略句尾的分号,或直接在命令行输入“P”后回车,可以查看此矩阵的性质。结果如下所示:

4.约束条件


yalmip简介

什么是yalmip

yalmip是由Lofberg开发的一种免费的优化求解工具,其最大特色在于集成许多外部的最优化求解器,形成一种统一的建模求解语言,提供了Matlab的调用API,减少学习者学习成本。


首先,yalmip是一个matlab的工具包,通过matlab实现各种操作和调用。

其次,它是一个建模工具,甚至可以称为一种“语言”,通过这种“语言”来描述模型,然后再调用其他求解器(如gurobi、cplex等)来求解模型。相当于一个将“yalmip语言”转换成其他求解器“语言”的语言转换器。

不同的求解器有不同的专用语言,学习多个语言即冗余又浪费精力,所以,yalmip的珍贵之处就体现出来了。

更为可贵的是,yalmip真正实现了建模和算法二者的分离,它提供了一种统一的、简单的建模语言,针对所有的规划问题,都可以用这种统一的方式建模;至于用哪种求解算法,你只需要通过一次简单的参数配置指定就可以了,甚至不用你指定,yalmip会自动为你选择最适合的算法。

有了yalmip,你不再需要针对每一种工具包去学习特定的建模语言(比如用cplex要专门学习cplex的建模语言,用lingo要专门学习lingo的建模语言,还有GLPK、lpsolve、Matlab自带的求解器等等,如果每一种求解器都要学习新的建模语言的话,这个工作量是可想而知的)。相反,如果你选择使用yalmip,那么你只需要学习yalmip一种建模语法,因为yalmip真正实现了建模和算法的分离,所有的问题都可以用统一的方法建模,如果需要使用不同的求解器,只需要一句简单的配置即可。因此,yalmip不仅仅是一个线性规划求解器,更强大的地方在于,它提供了一个统一的建模平台,支持现有的几乎所有的求解算法。有了yalmip,一切都变得简单起来。

以上摘自博客《yalmip + lpsolve + matlab 求解混合整数线性规划问题(MIP/MILP)》

 yalmip安装方式

这里以MATLAB的安装方式为例
官网下载https://yalmip.github.io/     download   即可 ,可得到YALMIP-master .zip
解压至matlab/toolbox
matlab中设置路径,注意:要将压缩包内的子文件夹都加入路径,选择“添加并包含子文件夹”来添加路径;
检查是否配置成功:matlab中调用yalmitest命令,查看所有支持的求解器已经他们的安装状态。

最后键入which sdpvar命令,显示sdpvar路径则安装成功

以下参考博文 https://www.jianshu.com/p/e1c45b3d8d8a


使用yalmip求解优化问题的步骤

1.yalmip求解优化问题的四部曲

1.1 创建决策变量

yalmip一共有三种方式创建决策变量,分别为:

  1. sdpvar-创建实数型决策变量
  2. intvar-创建整数型决策变量
  3. binvar-创建0/1型决策变量

不过值得注意的是,在创建n*n的决策变量时,yalmip默认是对称方阵。

所以要创建非对称方针时,需要这样写:xxxvar(n,n,'full')

1.2 添加约束条件

比起matlab自带的各种优化函数所要写明的约束条件,yalmip的约束条件写起来是非常舒适直观的。符合人类直觉

比如要写入0<=x1+x2+x3<=1。

那么可以这样写:

  1. % 创建决策变量
  2. x = sdpvar(1,3);
  3. % 添加约束条件
  4. C = [0<=x(1)+x(2)+x(3)<=1];

1.3 参数配置

关于参数设置,我们大多数是用来设置求解器solver的,当然还有其它的选项,可以通过doc sdpsettings查看。

1.4 求解问题

最后就是求解问题了。

首先要明确求解目标z,yalmip默认是求解最小值问题,所以遇到求解最大值的问题,只需要在原问题的基础上添加一个负号即可。

求解调用格式:

  1. 求解调用格式:
  2. optimize(target,constraints,opstions)

1.5 几个常用的其它指令

  1. check:可以检查约束条件是否被满足(检查约束条件的余值)
  2. value:可以查看变量或表达式的值
  3. assign: 可以给变量赋值,这个命令调试时很重要

2.举两个小栗子

2.1 简单例子(求最小值)

  1. clear;clc;close all
  2. x = sdpvar(1,3);
  3. z = 2*x(1) + 3*x(2) + x(3);
  4. c = [x(1) + 4*x(2) + 2*x(3) >= 8
  5. 3*x(1) + 2*x(2) >= 6
  6. x(1), x(2), x(3) > 0];
  7. result = optimize(c,z);
  8. if result.problem == 0 % 求解成功
  9. xresult = value(x)
  10. zresult = value(z)
  11. else
  12. disp('求解出错')
  13. end

运行结果如下

  1. CPXPARAM_MIP_Display 1
  2. Tried aggregator 1 time.
  3. LP Presolve eliminated 3 rows and 0 columns.
  4. Reduced LP has 2 rows, 3 columns, and 5 nonzeros.
  5. Presolve time = 0.02 sec. (0.00 ticks)
  6. Iteration log . . .
  7. Iteration: 1 Dual objective = 4.000000
  8. xresult =
  9. 2 0 3
  10. zresult =
  11. 7

当然该问题也可以直接用 matlab自带的linprog进行求解,代码如下

  1. c = [2 3 1]
  2. a = [1 4 2;
  3. 3 2 0];
  4. b = [8;6];
  5. [x,z] = linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))

结果如下,与上面的一致。

  1. Optimal solution found.
  2. x =
  3. 2.0000
  4. 0
  5. 3.0000
  6. z =
  7. 7.0000

2.2  简单例子(求最大值)

  1. % 清除工作区
  2. clear;clc;close all;
  3. % 创建决策变量
  4. x = sdpvar(1,2);
  5. % 添加约束条件
  6. C = [
  7. x(1) + x(2) >= 2
  8. x(2)-x(1) <=1
  9. x(1)<=1
  10. ];
  11. % 配置
  12. ops = sdpsettings('verbose',0,'solver','lpsolve');
  13. % 目标函数
  14. z = -(x(1)+2*x(2))/(2*x(1)+x(2)); % 注意这是求解最大值
  15. % 求解
  16. reuslt = optimize(C,z);
  17. if reuslt.problem == 0 % problem =0 代表求解成功
  18. value(x)
  19. -value(z) % 反转
  20. else
  21. disp('求解出错');
  22. end

 求解结果:

2. 3  配置cplex求解器  简单例子(求最大值)

  1. %求解如下非线性规划问题
  2. % 清除工作区
  3. clear;clc;close all;
  4. % 创建决策变量
  5. x = sdpvar(1,2);
  6. % 添加约束条件
  7. C = [
  8. x(1) + x(2) >= 2
  9. x(2)-x(1) <=1
  10. x(1)<=1
  11. ];
  12. % 配置
  13. ops = sdpsettings('verbose',0,'solver','cplex');
  14. % 目标函数
  15. z = -(x(1)+2*x(2))/(2*x(1)+x(2)); % 注意这是求解最大值
  16. % 求解
  17. reuslt = optimize(C,z);
  18. if reuslt.problem == 0 % problem =0 代表求解成功
  19. value(x)
  20. -value(z) % 反转
  21. else
  22. disp('求解出错');
  23. end

  求解结果:

2. 4  配置cplex求解器  简单例子(求最小值)

  1. clear;clc;close all;
  2. %定义变量
  3. x=sdpvar(2,1);
  4. %约束条件
  5. constraint=[];
  6. constraint=[constraint,x(1)+x(2)>350];
  7. constraint=[constraint,x(1)>100];
  8. constraint=[constraint,2*x(1)+x(2)<600];
  9. constraint=[constraint,x(2)>0];
  10. %求解
  11. %ops = sdpsettings('solver','cplex','verbose',1);
  12. % ops.cplex.display='on';
  13. % ops.cplex.timelimit=600;
  14. % ops.cplex.mip.tolerances.mipgap=0.001;
  15. % 诊断求解可行性
  16. % disp('开始求解')
  17. % diagnostics=optimize(constraint,obj,ops);
  18. % if diagnostics.problem==0
  19. % disp('Solver thinks it is feasible')
  20. % elseif diagnostics.problem == 1
  21. % disp('Solver thinks it is infeasible')
  22. % pause();
  23. % else
  24. % disp('Timeout, Display the current optimal solution')
  25. % end
  26. % 配置
  27. ops = sdpsettings('solver','cplex'); %配置求解方法为调用 CPLEX
  28. %目标函数
  29. obj=2*x(1)+3*x(2);
  30. % 求解
  31. reuslt = optimize(constraint,obj,ops); %Yalmip优化求解的命令
  32. if reuslt.problem == 0 % problem =0 代表求解成功
  33. value(x)
  34. value(obj)
  35. else
  36. disp('求解出错');
  37. end

   求解结果:

3.YALMIP符号变量

在YALMIP中最重要的命令是sdpvar,用于定义决策变量。

1.1定义一个n行m列矩阵(或标量)的方法如下:

P = sdpvar(n,m);

1.2方阵默认为对称阵。若需要定义一个完全参数化(即不一定对称)的方阵,还需要输入第三个参数:

P = sdpvar(3,3,'full');

1.3如果在上述代码中省略句尾的分号,或直接在命令行输入“P”后回车,可以查看此矩阵的性质。结果如下所示:

Linear matrix variable 3x3 (full, real, 9 variables)

第三个参数也可以用于获得一系列预定义的变量,如Toeplitz、Hankel、对角、对称和斜对称矩阵等(更多细节请参考sdpvar)。当然,也可以用常规方法来定义向量,如下所示:

  1. x = sdpvar(n,1); % 向量
  2. D = diag(x) ; % 对角矩阵
  3. H = hankel(x); % Hankel矩阵
  4. T = toeplitz(x); % Toeplitz矩阵

标量可以通过如下三种方法来定义:

  1. x = sdpvar(1,1); y = sdpvar(1,1);
  2. x = sdpvar(1); y = sdpvar(1);
  3. sdpvar x y

  sdpvar对象在MATLAB中的使用方法和任何其他变量一样,大多数函数都是重载的。因此,以下命令是有效的:

  1. P = sdpvar(3,3) + diag(sdpvar(3,1));
  2. X = [P P;P eye(length(P))] + 2*trace(P);
  3. Y = X + sum(sum(P*rand(length(P)))) + P(end,end)+hankel(X(:,1));
  4. % eye()函数用于返回单位矩阵,如eye(n)将返回n*n单位矩阵
  5. % trace()函数用于求矩阵的迹
  6. % end函数返回下标的最大值

  在码代码时,如果对YALMIP不太熟悉,建议养成查看表达式和变量的习惯,看看它们的属性是否与期望相符。举个栗子,若定义正确,上文代码所得的X应该是一个6x6实对称矩阵。根据下文对X的查看结果可得,它确实是一个由9个变量构成的对称6x6矩阵。

  1. >> X
  2. Linear matrix variable 6x6 (symmetric, real, 9 variables)

  在某些情况下,可以使用多维变量来简化编码。YALMIP支持两种不同的构造:元胞数组和多维sdpvar对象。元胞数组格式只是以下代码的抽象化:

  1. for i = 1:5
  2. X{i} = sdpvar(2,3);
  3. end

  通过在sdpvar中设置向量维数,上文的元胞数组还可以用下述方法设置:

X = sdpvar([2 2 2 2 2],[3 3 3 3 3]);

  此元胞数组可以在MATLAB中正常使用。但这种定义方法的缺陷在于变量X不能直接用作标准的sdpvar对象(在MATLAB中,plus等运算符在单元格上不可重载)。因此,可以使用完全通用的多维sdpvar创建一个等价对象:

X = sdpvar(2,3,5);

  通过这种方法,我们可以用标准的MATLAB代码直接对这个对象进行操作:

  1. Y = sum(X,3)
  2. X(:,:,2)

  根据标准YALMIP语法,如果前两个维度相同,那么前两个面就是对称的。要创建完全参数化的高维变量,需要给定一个“full”标志:

X = sdpvar(2,2,2,2,'full');

  有关多维变量的示例请查看Sudoku example

4.约束条件

  我们可以通过“创建+连接”的方式定义约束集合。约束的含义取决于上下文:如果左右两侧都是Hermitian矩阵,则约束将按照正定性进行解释,否则将逐元素进行解释。因此,定义一个对称矩阵和正定性约束的方法如下:

  1. n = 3;
  2. P = sdpvar(n,n);
  3. C = [P>=0];

  定义具有正元素的对称矩阵示例如下:

  1. P = sdpvar(n,n);
  2. C = [P(:)>=0];

  注意,这样就两次定义了非对角约束。一个好的半定规划(Semi-definite Programming,SDP)求解器可能会在预处理过程中检测到这一点并简化模型,不过我们也可以使用常规方法来手动定义特殊元素,如下所示:

C = [triu(P)>=0];	% triu()函数用于抽取上三角矩阵

  或者:

C = [P(find(triu(ones(n))))>=0];

  根据上述规则,可以使用>=运算符定义具有正元素的非平方矩阵(即非对称矩阵),如下所示:

  1. P = sdpvar(n,2*n);
  2. C = [P>=0];

  同样的方法也可以用于定义具有正元素的完全参数化的矩阵:

  1. P = sdpvar(n,n,'full');
  2. C = [P>=0];

  一系列约束可以通过“添加”或“连接”来定义,如下所示:

  1. P = sdpvar(n,n);
  2. C = [P>=0] + [P(1,1)>=2];
  3. C = [P>=0, P(1,1)>=2];

  定义约束时所涉及的表达式中可以包括任意sdpvar对象,等式约束(==)和不等式约束(<=)也都可以使用,如下所示:

C = [P>=0, P(1,1)<=2, sum(sum(P))==10

  在工作区双击约束,或在命令行输入约束名后回车,可以查看约束列表,并检查约束是否已有效定义了。正如前文关于查看表达式和变量的建议一样,推荐大家及时查看约束,以保证它们的属性与期望相符。查看上述约束所得结果示例如下:

  1. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
  2. | ID| Constraint|
  3. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
  4. | #1| Matrix inequality 3x3|
  5. | #2| Element-wise inequality 1x1|
  6. | #3| Equality constraint 1x1|
  7. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

  以下代码可以实现多个约束的同时定义:

F = [0 <= P(1,1) <= 2];

  严格不等式是不能使用的(将收到YALMIP发出的警告),因为数值求解器是使用数值公差进行优化的,故严格不等式在求解时没有任何意义。因此,如果我们需要设置严格上限,则必须设置一个边界。边界的选择很重要:若其太小,则没什么作用,因为它会淹没在求解器用来定义足够接近可行约束的常规公差中;若其太大,则可能会使可行空间大大缩小。

  1. my_tolerance_for_strict = 1e-5;
  2. F = [0 <= P(1,1) <= 2-my_tolerance_for_strict];

  for循环也能用于连接多个约束:

  1. F = [0 <= P(1,1) <= 2];
  2. for i = 2:n-1
  3. F = [F, P(i,1) <= P(2,i) - P(i,i)];
  4. end

在定义了变量和约束之后,就可以进行各类优化问题的求解了。接下来我们将从线性规划开始,学习一系列普通规划问题及其MATLAB实现方法。

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