矩阵的四个基本子空间_矩阵四个相关的子控件

矩阵的四个基本子空间：列空间， 零空间， 行空间， A的转置零空间（左零空间）。

要弄清楚两个基本问题：怎么知道这四个空间的一组基， 以及基的维数

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主要讨论

对于矩阵A_m*n来说， 它的四个基本子空间分别位于那些空间里面呢？

列空间位于：R^m

零空间位于：Rⁿ

行空间位于：R^m

A的转置零空间(也叫作左零空间)位于：R^m

如果矩阵为A_m*n, 秩r=n， 那么列空间的一组基就是主列， 维数就是r。 列空间的维数与行空间是一致的。对于零空间来说， 它们一组基就是该矩阵的特解组成的向量组， 维数是自由变量的个数n-r。对于怎么求解Ax=b这里就不啰嗦了Ax=b, 或者 Ax=0。

行空间与零空间都位于Rⁿ中， 行空间的维数 + 零空间的维数 正好等于 n。 那列空间和左零空间呢？ 它们都位于R^m中， 是不是也存在上述关系呢？ 答案：是的。 所以左零空间的维数是：m-r。 行空间的一组基就是：主行。 比如, 这个矩阵的一组基就是。

左零空间的一组基怎么求呢？ 做零空间也就是A的转置零空间。 用这个式子来说 A^Ty=0, 就是求一组y。对于每一个A(矩阵)都可以化成R（行最简形）。 那么如果我在A矩阵后面加一个单位矩阵， 也就是[A_m*n, I_m*m] 一定可以化成 [R_{m*n, Em*m] 这种形式， E是从一个单位矩阵开始转化， 经过所有的消元变换后合并成R左边的一个矩阵， E是一些“初等矩阵”合并而成的。[Am*n, Im*m] = [Rm*n, Em*m], 可以化成 E[A, I] = [R, E]这种形式， EI=I 显然成立， EA=R 在求矩阵的逆中， E = AT， 但是矩阵不一定都是方阵， A 不一定可逆。 对于上面那个例子中 E = , 因为 R 的第三行是0行。 所以左零空间的一组基就是 [-1 0 1]}

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其实对于行空间和左零空间来说， 只要把原矩阵转置一下就好了， 行空间变成列空间， 左零矩阵变成零矩阵。 只是这种方法稍显麻烦。

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小结一下

对于矩阵A_m*n

列空间的 一组基 为主列， 维数为矩阵的秩r
行空间的 一组基 为主行， 维数为矩阵的秩r
零空间的 一组基 为特解， 维数为n-r
左零空间基的求法见上文， 维数为m-r

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对于以上问题不理解的可以参见 4个基本子空间