吴恩达机器学习笔记（一）(梯度下降)_吴恩达机器学习matlab实现梯度下降

所以在这里把吴恩达本人写的代码给汉化了，因为网上实在找不到，我不知道他们为什么不这样做，好让我省点力气，希望这篇文章不要被发现很多人发现吧。

如上将介绍最简单的单变量线性函数回归，我们对采集到的一些数据后进行线性拟合。这里称h_θ(x)是拟合曲线，上图例子是直线。

蓝线对应着右图的一条等高线，中心点表示拟合程度最高的h(x)。


J（θ₀，θ₁）叫代价函数，代表拟合程度。如果对代价函数做最小梯度法，去寻找一个θ₁，使他能够让代价函数到达最低点，那么h_θ(x)也将到达最拟合状态。
关键步骤就是下面这一步，

每次迭代都减去J导数乘以一个学习率。

总结起来就一句话

matlab实现梯度下降法（来源百度百科）
这里的x相当于上图的θ。y相当于代价函数值。步长相当于学习率。

%% 最速下降法图示
% 设置步长为0.1，f_change为改变前后的y值变化，仅设置了一个退出条件。
syms x;
f=x^2;
step=0.1;    %设置步长
x=2;         %初始值
k=0;         %迭代记录数
f_change=x^2;              %初始化差值
f_current=x^2;            %计算当前函数值
ezplot(@(x,f)f-x.^2);     %画出函数图像
axis([-2,2,-0.2,4.1])       %固定坐标轴
hold on
while f_change>0.000000001                %设置条件，两次计算的值之差小于某个数，跳出循环
    x=x-step*2*x;                            %-2*x为梯度反方向，step为步长，！最速下降法！
    f_change = f_current - x^2;           %计算两次函数值之差
    f_current = x^2 ;                     %重新计算当前的函数值
    plot(x,f_current,'ro','markersize',7) %标记当前的位置
    drawnow;
    pause(0.2);
    k=k+1;
end
hold off
fprintf('在迭代%d次后找到函数最小值为%e，对应的x值为%e\n',k,x^2,x)
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J的计算公式

J导数的计算公式

代回上式后得

最终的θ计算公式，迭代公式

matlab代码实现，其中X，y分别代表需要研究的离散的（横坐标值加一列单位列向量，乘上theta就是θ₁X+θ₀）和（纵坐标），可以自己找到数据后load导入赋值给他们。

梯度下降，计算θ，J

function [theta, J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)
m = length(y)；
J_history = zeros(num_iters, 1);
for iter = 1:num_iters；
 theta = theta - alpha/m * X' *(X*theta - y);
    J_history(iter) = computeCost(X, y, theta);   %J每一次迭代J的值变动记录，返回可以看到J-history的数值再1500次里不断的梯度下降
end
end
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代价函数

function J = computeCost(X, y, theta)
m = length(y);
J = 0;                            %J初始化
h = X * theta;                %h函数定义
J = 1/(2*m) * sum((h-y).^2);     %J函数定义
end
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主函数

clear ; close all; clc；
data = load('ex1data1.txt');       %自己想研究的离散数据点
X = data(:, 1); y = data(:, 2);    
m = length(y);                         %特征种类个数
plotData(X, y);                          %画出离散点

X = [ones(m, 1), data(:,1)];        % 我们给X一个单位列向量,乘上theta两个值中的第一个值就是h中的θ0
theta = zeros(2, 1);                     %初始化theta，是一个长度为2的列向量
iterations = 1500;                        %迭代次数
alpha = 0.01;                               %学习率

J = computeCost(X, y, [-1 ; 2]);                %调theta的初始值[-1,2]，根据具体情况调整
[theta，J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iterations); %将已知量全部带入梯度下降函数

hold on;
plot(X(:,2), X*theta, '-');
legend('Training data', 'Linear regression') 
hold off
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接main函数，懒得汉化了，实现一些预测的功能和画出J的空间图（xyz分别是θ₀ θ₁ J）

% Predict values for population sizes of 35,000 and 70,000
predict1 = [1, 3.5] *theta;
fprintf('For population = 35,000, we predict a profit of %f\n',...
    predict1*10000);
predict2 = [1, 7] * theta;
fprintf('For population = 70,000, we predict a profit of %f\n',...
    predict2*10000);

%% ============= Part 4: Visualizing J(theta_0, theta_1) =============
% Grid over which we will calculate J
theta0_vals = linspace(-10, 10, 100);   %设定一个范围
theta1_vals = linspace(-1, 4, 100);
	
% initialize J_vals to a matrix of 0's
J_vals = zeros(length(theta0_vals), length(theta1_vals));% 初始化J_vals

% Fill out J_vals
for i = 1:length(theta0_vals)         %ij都100，循环了10000次，所以运行时间在这里被消磨了
    for j = 1:length(theta1_vals)
	  t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];
	  J_vals(i,j) = computeCost(X, y, t);      %每次循环进去了t是θ0，θ1范围的分段点，返回出来一个J做历史记录
    end
end


% Because of the way meshgrids work in the surf command, we need to
% transpose J_vals before calling surf, or else the axes will be flipped
J_vals = J_vals';     %这里有点没看懂，但事实确实是这样，如果不转置，那么surf出来的表格中底部xy坐标轴会调换，不能体现出真实的J情况。
% Surface plot
figure;                        %第一张表
surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals);
xlabel('\theta_0');
 ylabel('\theta_1');
      
% Contour plot
figure;                          %第二张表格
% Plot J_vals as 15 contours spaced logarithmically between 0.01 and 100
contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 3, 20))
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1');
hold on;
plot(theta(1), theta(2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);   %matlab没有0位置的哈

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如果surf之前的循环函数里赋值时，按照正常行→列的顺序则会出现图像bug，要转置

t0 = linspace(-10, 10, 10);
t1 = linspace(-1, 4, 10);
for i = 1:10
    for j = 1:10
	  J(j,i) = t0(i)+t1(j);        %如果ij调换则不能体现J的真实情况，可能是根据这个surf的计数顺序有关，surf前两个因为是行向量来计数，最后一个按照列来计数，先第一列从上到下，分别对应t0=-10的时候t1=-1~10的值，然后t0=-8的时候t1=t1=-1~10。然而我们设置循环的时候，是先i后j，如果按照J（i，j），则是以行计数了，那就乱套了。
    end
end
surf(t0,t1,J);
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其他补充线性代数知识

单位矩阵维度需要注意，放前和后是不一样的

前面我们知道了单变量线性回归的大致思想，现在介绍多变量
我们假定了括号内的数字代表了表格的行数

当涉及到多变量

左图是单变量的θ求法，右图则是多变量，x0默认是1。