向量叉乘的几何意义

向量叉乘的几何意义

对于两个2维向量:
a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) b ⃗ = ( x 2 , y 2 )

$$\begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned}$$ a b ​=(x1,y1)=(x2,y2)​

叉乘定义:
$｜\vec{a}\times \vec{b}｜=x_1{y}_2-x_2{y}_1$

计算面积

四边形ODCE面积:
$S=(x_1+x_2)(y_1+y_2)$

四边形GDFB面积:
$S_1=x_2{y}_1$

三角形BFC面积:
$S_2=0.5(x_1{y}_1)$

三角形OGB面积:
$S_3=0.5(x_2{y}_2)$

平行四边形OGCA面积:
S 平 行 四 边 形 = S − 2 S 1 − 2 S 2 − 2 S 3 = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 2 − x 2 y 1

$$\begin{aligned} S_{平行四边形} &= S-2S_1-2S_2-2S_3 \\ &= (x_1+x_2)(y_1+y_2) - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_1+x_2y_1 + x_1y_2+x_2y_2 - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_2 - x_2y_1 \end{aligned}$$ S平行四边形​​=S−2S1​−2S2​−2S3​=(x1​+x2​)(y1​+y2​)−2x2​y1​−x1​y1​−x2​y2​=x1​y1​+x2​y1​+x1​y2​+x2​y2​−2x2​y1​−x1​y1​−x2​y2​=x1​y2​−x2​y1​​

结论:

向量叉乘的模表示的是所围成平行四边形的面积。