5.1 无向图与有向图_无向图和有向图

5.1 无向图及有向图

5.1.1 无向图

多重集合：元素可以重复出现的集合

定义 无向图G=<V,E>, 其中
(1) 顶点集V是非空有穷集合, 其元素称为顶点
(2) 边集E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边

5.1.2 有向图

定义 有向图G=<V,E>D=<V,E>, 其中
(1)顶点集V是非空有穷集合, 其元素称为顶点
(2) 边集E为 V× V的多重子集，其元素称为有向边，简称边

D的基图:用无向边代替有向边

5.1.3 无向图与有向图

• 通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指无向图和有向图。
  V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集

  n阶图: n个顶点的图

  零图: E= ∅

  平凡图: 1 阶零图

  空图: V= ∅

5.1.4 顶点和边的关联与相邻

定义 设e=(u,v)是无向图G=<V,E>的一条边, 称u,v为e的端点,e与u(v)关联。

​ 若u≠v, 则称e与u(v)的关联次数为1;

​ 若u=v, 则称e为环, 此时称e与u 的关联次数为2;

​ 若w不是e端点, 则称e与w 的关联次数为0。

​ 无边关联的顶点称作孤立点。

定义 设无向图G=<V,E>, u,v∈V, e,e’∈E, 若(u,v)∈E, 则称u,v相邻;

​ 若e,e’至少有一个公共端点, 则称e,e’相邻。

​ 对有向图有类似定义。设e=<u,v>是有向图的一条边,又称u是e的始点,v是e的终点, u邻接到v, v邻接于u。

5.1.5 顶点的度数

​ 设G=<V,E>为无向图, v ∈ V,

​ v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
​ 悬挂顶点: 度数为1的顶点
​ 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
​ G的最大度 △ (G)=max{d(v)|v∈V}
​ G的最小度 δ (G)=min{d(v)| v∈V}

右图中d(v₅)=3, d(v₂)=4, d(v₁)=4,△(G)=4, δ(G)=1,v₄是悬挂顶点, e₇是悬挂边, e₁是环

设D=<V,E>为有向图, v∈V,
v的出度d⁺(v) : v作为边的始点次数之和
v的入度d^-(v): v作为边的终点次数之和
v的度数(度)d(v) : v作为边的端点次数之和
d(v)= d⁺(v)+ d^-(v)

​ D的最大出度△⁺(D) =max{d⁺(v)|v∈V}
​ 最小出度δ⁺(D) =min{d⁺(v)|v∈V}

​ 最大入度△^-(D) =max{d^-(v)|v∈V}

​ 最小入度δ^-(D) =min{d^-(v)|v∈V}

​ 最大度 △ (D)=max{d(v)|v∈V}

​ 最小度 δ (D)=min{d(v)|v∈V}

实例：

5.1.6 握手定理

• 定理

  任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数。

• 证明

  G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度。

  有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数。

• 推论

​ 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数。

• 应用

5.1.7 图的度数列

设无向图G的顶点集V={v₁, v₂, …, v_n}

G的度数列: d(v₁), d(v₂), …, d(v_n)

如右图度数列:4,4,2,1,3

设有向图D的顶点集V={v₁, v₂, …, v_n}

D的度数列: d(v₁), d(v₂), …, d(v_n)

D的出度列: d⁺(v₁), d⁺(v₂), …, d⁺(v_n)

D的入度列: d^-(v₁), d^-(v₂), …, d^-(v_n)

如右图度数列:5,3,3,3

        出度列:4,0,2,1
        入度列:1,3,1,2
1
2

例题：

1. 一个部门有25个人，由于意见不同，是否可能每个人恰好与其他5个人意见一致？

   ​ A 可能 B 不可能

2. 唐氏夫妇邀请另外三对夫妇来家里吃饭，已知每个人都不和自己握手，不和自己的配偶握手，同时最多和一人握手一次。在大家吃完饭后，唐先生问大家握了几次手，每个人的回答都不相同。请问：唐太太握手几次？

​ A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 G 6

答案：1. B 2. D

5.1.8 多重图与简单图

(1)在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数。
(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数。
(3) 含平行边的图称为多重图。
(4) 既无平行边也无环的图称为简单图。

注意:简单图是极其重要的概念。

实例：

5.1.9 完全图

n阶无向完全图K_n：每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图。

简单性质：边数m=n(n-1)/2，Δ=δ=n-1

K₅：

n阶有向完全图：每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图。

简单选择：边数m=n(n-1)，Δ=δ=2(n-1)

​ Δ⁺=δ⁺=Δ^-=δ^-=n-1

3阶有向完全图：

5.1.10 子图

设G=<V,E>，G’=<V’,E’>是两个图。

(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图，G是G’的母图，记作G’⊆G。

(2) 若G’⊆G 且V’=V，则称G’为G的生成子图。

(3) 若V’⊂V 或E’⊂E，称G’为G的真子图。

(4) 设V’⊆V 且V’≠∅, 以V’为顶点集, 以两端点都在V’中的所有边为边集的G的子图称作V’的导出子图，记作 G[V’]。

(5) 设E’⊆E且E’≠∅, 以E’为边集, 以E’中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E’的导出子图, 记作 G[E’]。

注意：每个图都是本身的子图。

生成子图的实例：

K₄的所有非同构的生成子图

导出子图的实例：

5.1.11 补图

定义：设G=<V,E>是n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图K_n的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图。记作G’。若G≌G’，则G是自补图。

5.1.12 图的同构

定义:G₁=<V₁,E₁>, G₂=<V₂,E₂>为两个无向图(有向图), 若存在双射函数 f: V₁→V₂, 使得对于任意的v_i,v_j∈V₁, (v_i,v_j)∈E₁（<v_i,v_j>∈E₁）当且仅当 (f(v_i),f(v_j))∈E₂（<f(v_i),f(v_j)>∈E₂），并且, (v_i,v_j)（<v_i,v_j>）与 (f(v_i),f(v_j))（<f(v_i),f(v_j)>）的重数相同，则称G₁与G₂是同构的，记作G₁≌G₂。

同构实例：

左边上下两图是同构的，右边上下两图也是同构的。

说明：

• 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性。

• 能找到多条同构的必要条件，但它们都不是充分条件：

  ①边数相同，顶点数相同

  ②度列数相同（不计度数的顺序）

  ③对应定点的关联集及领域的元素个数相同，等等

• 若破坏必要条件，则两图不同构

• 至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法

例题：

（1）

​ A 同构 B 不同构

（2）

​ A 同构 B 不同构

（3）

​ A 同构 B 不同构

答案：（1）A （2）A （3） B