考研数学——高数：函数与极限（1）

目录

一、函数的概念

判断函数是否相同：

常见常用函数

函数特性

二、反函数，复合函数

反函数定义

理解反函数与原函数关于y = x对称

复合函数定义

三、初等函数

基本初等函数

四、数列极限

证明数列极限为a

ε~N定义

收敛数列的性质

五、函数极限

证明函数在x0处的极限为A

ε~δ定义

左极限、右极限的证明

某点左右极限对于该点极限的意义

证明函数在无穷处的极限为A

函数极限性质

函数极限与数列极限的关系

一、函数的概念

定义：在定义域D上，对于一个x∈D，总有一个f(x) = y，则x是y的函数

记为y = f(x)，x为自变量，y为因变量，f为对应法则

定义域：Df = D

值域：Rf = f(D) = {y | y = f(x)，x∈D}

函数两要素：定义域，对应法则两要素一旦确定，函数也随之确定

判断函数是否相同：

• 判断定义域是否相同
• 判断对应法则是否相同

常见常用函数

1. y = sgnx （符号函数） 
2. y = [x] （取整函数：取不超过x的最大整数）（性质 x-1<[x]≤x）
3. y = D(x) （狄利克雷函数，x取有理数时y = 1，反之y = 0）

函数特性

1. 有界性（有上界 / 有下界 / 有界 / 无界）（有上界&有下界 <=> 有界）
2. 单调性
3. 奇偶性（有奇偶性 <=>  定义域必关于原点对称）
4. 周期性（周期函数不一定有最小正周期 <利用狄利克雷函数解释原因> ）

二、反函数，复合函数

反函数定义

对于y = f(x)：在x∈D，y∈Ry上，对于任意y∈Ry，能找到唯一与之对应的x∈D

使得y = f(x)，则记为 x = f^-1 (y)，并将其称为y = f(x)的反函数

理解反函数与原函数关于y = x对称

我们要得到反函数，在确定其存在后，直接对原函数反解，即将x用