人工智能数学基础7：无穷大和无穷小的大小比较以及斯特林公式_最大的无穷小

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1、无穷大、无穷小的定义

定义1 ：如果函数f(x)当x一>x0(或x一>∞)时的极限为零，那么称函数
f(x)为当x一>x0(或x一>∞)时的无穷小。
特别地，以零为极限的数列{xn}称为n一>∞时的无穷小。

定理1 ：在自变量的同一变化过程x一>x0(或x一>∞)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α是无穷小。

定义2： 设函数f(x)在x的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(不论它多么大)，总存在正数δ(或正数X),只要x适合不等式0<lx-x0l<δ(或|x|>X)，对应的函数值f(x)总满足不等式
|f(x)|>M.
那么称函数f(x)是当x一>x0(或x一>∞)时的无穷大。

定理2：在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么1/f(x)为无穷大。

2、无穷小的大小比较

下面就无穷小之比的极限存在或为无穷大时，来说明两个无穷小之间的比。应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且α≠0，limβ/α也是在这个变化过程中的极限。

定义：
如果 lim β/α=0，那么就说β是比α高阶的无穷小,记作β=o(α)
如果lim β/α=∞，那么就说β是比α低阶的无穷小
如果 lim β/α=c≠0,那么就说β是比α是同阶无穷小
如果lim β/α^k=c≠0，k>0，那么就说β是关于α的k阶无穷小
如果lim β/α=1,那么就说B与a是等价无穷小,记作 a~B

定理3：α与β是等价无穷小的充要条件是：β = α+o(α）
定理4：设a1、a2、b1、b2为无穷小，如果a1~a2且b1~b2，且lim a2/b2存在，则
lim a1/b1 = lim a2/b2。即两个无穷小之比的极限，可以将分子分母都用等价无穷小来代替，如果使用得当，可以简化计算。

3、无穷大的大小排列

n、a1、a2、a3为自然数（表述为n∈N），n趋于无穷大(n→∞)，a1、a2、a3大于1，则下列实数的大小排列为：

4、 无穷小的大小排列

将无穷大的大小排列公式中比较的数字作为分母，1作为分子，大于号改为小于号，则可以作为无穷小大小排列公式：

5、极限值

n为自然数（表述为n∈N），n趋于无穷大(n→∞)，a2、a3大于1，则下列极限值为0：

6、斯特林公式（Stirling’s approximation）

斯特林公式（Stirling’s approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。公式如下：

斯特林公式（Stirling’s approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。

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