Bellman-Ford 最短路径算法 图示与实现_bellman-ford算法的流程图

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

程序代码：

/*
 * bellman_ford.cc
 *
 *  Created on: Jan 5, 2013
 *      Author: guixl
 */
 
 
#include <stdio.h>
#include <string.h>
 
const int MAX_VERTEX = 100;
const int MAX_EDGE = 100;
const int INF = 1<<30;
 
int u[MAX_EDGE]; //Edge start point array
int v[MAX_EDGE]; //Edge stop point array
int w[MAX_EDGE]; //Edge weight array
 
int d[MAX_VERTEX];
int prefix[MAX_VERTEX];
int vertex_number=6;
int edge_number=9;
 
void BuildGraph() {
	u[0] = 0; v[0]=1; w[0]=1;
	u[1] = 0; v[1]=2; w[1]=6;
	u[2] = 0; v[2]=5; w[2]=10;
	u[3] = 1; v[3]=3; w[3]=2;
	u[4] = 1; v[4]=4; w[4]=1;
	u[5] = 2; v[5]=3; w[5]=4;
	u[6] = 2; v[6]=4; w[6]=5;
	u[7] = 3; v[7]=5; w[7]=3;
	u[8] = 4; v[8]=5; w[8]=1;
}
 
void BellmanFord() {
	for (int i=0; i<vertex_number; i++)
		d[i] = i==0 ? 0 : INF;
 
	for (int i=0; i<vertex_number; i++) {
		for (int j=0; j<edge_number; j++) {
			int start = u[j];
			int stop = v[j];
			if (d[start] < INF && d[start] + w[j] < d[stop]) {
				d[stop] = d[start] + w[j];
				prefix[stop] = start;
			}
		}
	}
}
 
void Print() {
	for (int i=0; i<vertex_number; i++) {
		printf("Shortest path from 0 to %d is %d:\n", i, d[i]);
		for (int s=i; s!=0; s=prefix[s]) {
			printf("%d->%d\n", prefix[s], s);
		}
	}
}
 
int main(int argc, char** argv) {
	BuildGraph();
	BellmanFord();
	Print();
	return 0;
}