数学建模常用算法—贝尔曼-福特算法求最短路径(Bellman-Ford)_贝尔曼-福特算法数学建模

解决问题

贝尔曼-福特算法(Bellman–Ford)是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。它的原理是对图进行次松弛操作，得到所有可能的最短路径。

优点

其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单。

缺点

时间复杂度过高，高达O(VE)，V代表顶点数，E代表边数。

算法原理

这个链接里有贝尔曼-福特算法的原理讲解，虽然是全英但结合视频还是可以理解的。
https://www.bilibili.com/video/av43217121

MATLAB算法实现

以下图为例

1. MATLAB作图

%% Matlab作无向图
% （1）无权重（每条边的权重默认为1）
% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图
% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组。
s1 = [1,2,3,4];
t1 = [2,3,1,1];
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)
% 注意哦，编号最好是从1开始连续编号，不要自己随便定义编号
s1 = [1,2,3,4];
t1 = [2,3,1,1];
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)

% 注意字符串元胞数组是用大括号包起来的哦
s2 = {'学校','电影院','网吧','酒店'};
t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};
G2 = graph(s2, t2);
plot(G2, 'linewidth', 2)  % 设置线的宽度
% 下面的命令是在画图后不显示坐标
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );  

% （2）有权重
% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图
s = [1,2,3,4];
t = [2,3,1,1];
w = [3,8,9,2];
G = graph(s, t, w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) 
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );  

%% Matlab作有向图
% 无权图 digraph(s,t)
s = [1,2,3,4,1];
t = [2,3,1,1,4];
G = digraph(s, t);
plot(G)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );  

% 有权图 digraph(s,t,w)
s = [1,2,3,4];
t = [2,3,1,1];
w = [3,8,9,2];
G = digraph(s, t, w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) 
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );  
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用MATLAB实现案例中的图

s = {'S','S','C','A','B','C','B','B','D'};
t = {'A','C','A','B','C','D','D','T','T'};
w = [5 -2 2 1 2 3 7 3 10];
G = digraph(s,t,w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) 
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); 
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2. MATLAB计算最短路径

在以上案例中

[P,d] = shortestpath(G, 'S', 'T')
1

最短路径为：S→C→A→B→T
最短路径长度为：4

3. 高亮最短路径

myplot = plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2);  %首先将图赋给一个变量
highlight(myplot, P, 'EdgeColor', 'r')   %对这个变量即我们刚刚绘制的图形进行高亮处理（给边加上r红色）
1
2

最后

放入数学建模论文中的图论图不建议用MATLAB绘制出来的，建议采用以下网站绘制：https://csacademy.com/app/graph_editor/