哈夫曼树的原理及构造方法_哈夫曼树的构造

目录

1. 什么是哈夫曼树

2. 为什么有哈夫曼树

3. 哈夫曼树的原理 

3.1 哈夫曼树的构造方法

 3.2 哈夫曼解码

 3.3 几种定义

4. 哈夫曼二叉树的特点

5. 关于哈夫曼树的代码

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1. 什么是哈夫曼树

• 哈夫曼树解决的是编码问题，给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。说的直白一点就是找出存放一串字符所需的最少的二进制编码。

2. 为什么有哈夫曼树

• 如下图：我们存到T(S)里的编码比较长，比较繁琐，有没有一种更简洁的方法呢？

3. 哈夫曼树的原理 

3.1 哈夫曼树的构造方法

• 可以用下面的方法：首先标出每个元素出现的次数

• 第一步：找出字符中最小的两个，小的在左边，大的在右边，组成二叉树。在频率表中删除此次找到的两个数，并加入此次最小两个数的频率和，下列E和D最小组成一个二叉树。

•  第二步：以此类推，再找出字符中最小的两个，小的在左边，大的在右边，组成二叉树。

 第三步：我们给每个左分支标记为0，给每个右分支标记为1

• 第四步：每个 字符 的 二进制编码 为（从根节点数到对应的叶子节点，路径上的值拼接起来就是叶子节点字母的应该的编码） 

•  现在生成的H(S)是不是比T(S)短了不少

 3.2 哈夫曼解码

• 从左向右扫描二叉树，当到了叶子节点时候输出原始值。

  

 问题：会不会出现长编码的不与短编码的字母冲突：答案是不会的，因为扫描二叉树都是每次扫描到叶子节点，不会出现返回的现象。

 3.3 几种定义

• 路径：路径是指从树中一个结点到另一个结点的分支所构成的路线。
• 树的路径长度：树的路径长度是指从根到每个结点的路径长度之和。
• 带权路径长度：结点具有权值，从该结点到根之间的路径长度乘以结点的权值，就是该结点的带权路径长度。如：E的带权路径长度=4x2=8
• 树的带权路径长度(WPL)：树的带权路径长度(WPL) 是指树中所有叶子结点的带权路径长度之和。如：WPL =1x5 + 3x2 + 2x3 +2x4 + 1x4 =29

4. 哈夫曼二叉树的特点

• 权值越大的结点，距离根结点越近。
• 树中没有度为1的结点。这类树又叫作正则严格)二叉树。
• 树的带权路径长度最短。

5. 关于哈夫曼树的代码

typedef char **HuffmanCode;
 
//生成哈夫曼编码
void HuffCoding(HuffmanTree& HT, HuffmanCode& HC, int n)
{
	HC = (HuffmanCode)malloc(sizeof(char*)*(n + 1)); //开n+1个空间，因为下标为0的空间不用
	char* code = (char*)malloc(sizeof(char)*n); //辅助空间，编码最长为n(最长时，前n-1个用于存储数据，最后1个用于存放'\0')
	code[n - 1] = '\0'; //辅助空间最后一个位置为'\0'
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int start = n - 1; //每次生成数据的哈夫曼编码之前，先将start指针指向'\0'
		int c = i; //正在进行的第i个数据的编码
		int p = HT[c].parent; //找到该数据的父结点
		while (p) //直到父结点为0，即父结点为根结点时，停止
		{
			if (HT[p].lc == c) //如果该结点是其父结点的左孩子，则编码为0，否则为1
				code[--start] = '0';
			else
				code[--start] = '1';
			c = p; //继续往上进行编码
			p = HT[c].parent; //c的父结点
		}
		HC[i] = (char*)malloc(sizeof(char)*(n - start)); //开辟用于存储编码的内存空间
		strcpy(HC[i], &code[start]); //将编码拷贝到字符指针数组中的相应位置
	}
	free(code); //释放辅助空间
}

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
 
typedef double DataType; //结点权值的数据类型
 
typedef struct HTNode //单个结点的信息
{
	DataType weight; //权值
	int parent; //父节点
	int lc, rc; //左右孩子
}*HuffmanTree;
 
typedef char **HuffmanCode; //字符指针数组中存储的元素类型
 
//在下标为1到i-1的范围找到权值最小的两个值的下标，其中s1的权值小于s2的权值
void Select(HuffmanTree& HT, int n, int& s1, int& s2)
{
	int min;
	//找第一个最小值
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (HT[i].parent == 0)
		{
			min = i;
			break;
		}
	}
	for (int i = min + 1; i <= n; i++)
	{
		if (HT[i].parent == 0 && HT[i].weight < HT[min].weight)
			min = i;
	}
	s1 = min; //第一个最小值给s1
	//找第二个最小值
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (HT[i].parent == 0 && i != s1)
		{
			min = i;
			break;
		}
	}
	for (int i = min + 1; i <= n; i++)
	{
		if (HT[i].parent == 0 && HT[i].weight < HT[min].weight&&i != s1)
			min = i;
	}
	s2 = min; //第二个最小值给s2
}
 
//构建哈夫曼树
void CreateHuff(HuffmanTree& HT, DataType* w, int n)
{
	int m = 2 * n - 1; //哈夫曼树总结点数
	HT = (HuffmanTree)calloc(m + 1, sizeof(HTNode)); //开m+1个HTNode，因为下标为0的HTNode不存储数据
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		HT[i].weight = w[i - 1]; //赋权值给n个叶子结点
	}
	for (int i = n + 1; i <= m; i++) //构建哈夫曼树
	{
		//选择权值最小的s1和s2，生成它们的父结点
		int s1, s2;
		Select(HT, i - 1, s1, s2); //在下标为1到i-1的范围找到权值最小的两个值的下标，其中s1的权值小于s2的权值
		HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight; //i的权重是s1和s2的权重之和
		HT[s1].parent = i; //s1的父亲是i
		HT[s2].parent = i; //s2的父亲是i
		HT[i].lc = s1; //左孩子是s1
		HT[i].rc = s2; //右孩子是s2
	}
	//打印哈夫曼树中各结点之间的关系
	printf("哈夫曼树为:>\n");
	printf("下标   权值     父结点   左孩子   右孩子\n");
	printf("0                                  \n");
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		printf("%-4d   %-6.2lf   %-6d   %-6d   %-6d\n", i, HT[i].weight, HT[i].parent, HT[i].lc, HT[i].rc);
	}
	printf("\n");
}
 
//生成哈夫曼编码
void HuffCoding(HuffmanTree& HT, HuffmanCode& HC, int n)
{
	HC = (HuffmanCode)malloc(sizeof(char*)*(n + 1)); //开n+1个空间，因为下标为0的空间不用
	char* code = (char*)malloc(sizeof(char)*n); //辅助空间，编码最长为n(最长时，前n-1个用于存储数据，最后1个用于存放'\0')
	code[n - 1] = '\0'; //辅助空间最后一个位置为'\0'
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int start = n - 1; //每次生成数据的哈夫曼编码之前，先将start指针指向'\0'
		int c = i; //正在进行的第i个数据的编码
		int p = HT[c].parent; //找到该数据的父结点
		while (p) //直到父结点为0，即父结点为根结点时，停止
		{
			if (HT[p].lc == c) //如果该结点是其父结点的左孩子，则编码为0，否则为1
				code[--start] = '0';
			else
				code[--start] = '1';
			c = p; //继续往上进行编码
			p = HT[c].parent; //c的父结点
		}
		HC[i] = (char*)malloc(sizeof(char)*(n - start)); //开辟用于存储编码的内存空间
		strcpy(HC[i], &code[start]); //将编码拷贝到字符指针数组中的相应位置
	}
	free(code); //释放辅助空间
}
 
//主函数
int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入数据个数:>");
	scanf("%d", &n);
	DataType* w = (DataType*)malloc(sizeof(DataType)*n);
	if (w == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	printf("请输入数据:>");
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%lf", &w[i]);
	}
	HuffmanTree HT;
	CreateHuff(HT, w, n); //构建哈夫曼树
 
	HuffmanCode HC;
	HuffCoding(HT, HC, n); //构建哈夫曼编码
 
	for (int i = 1; i <= n; i++) //打印哈夫曼编码
	{
		printf("数据%.2lf的编码为:%s\n", HT[i].weight, HC[i]);
	}
	free(w);
	return 0;
}