第二讲 ODE欧拉数值方法_欧拉方法步长能为负吗

一，数值方法是解微分方程的主要方法；

二，IVP初值问题：一阶微分方程${y}'=f(x,y)$ ，和初始点$y(x_{n})=y_{n}$，联立的方程组；

三，欧拉数值方法：

1. 找到初始点$(x_{n},y_{n})$
2. 根据微分方程${y}'=f(x,y)$，求出初始点斜率$A_{n}=f(x_{n},y_{n})= \frac{y_{n+1}-y_{n}}{h}$
3. 设步长为$h$
4. 求$x_{n+1}=x_{n}+h$
5. 求
6. ……循环迭代

     也可以用表格的方法来做，见视频10:00~15:50

四，欧拉数值方法的问题：

1. 计算结果的误差偏高还是偏低？如果解是凹函数，则偏低；如果解是凸函数，则偏高
2. 判断初始点附近的函数凹凸性的方法：先求${y}'=f(x,y)$的导函数${y}''$，再将初始点$(x_{n},y_{n})$代入导函数，解出${y}''$， ${y}''$为+时是凹函数，${y}''$为-时是凸函数
3. 如果函数是凹凸起伏的，则需要分段判断
4. 减小误差的方法1：取较小步长，效果是一阶逼近$e\sim C_{1}h$
5. 减小误差的方法2：将斜率$A_{n}$改为$\frac{A_{n}+A_{n+1}}{2}$，效果是二阶逼近$e\sim C_{1}h^{2}$
6. 电脑作图的标准方法是RK4（runge-kutta四阶逼近）