二叉树(二叉树的概念及性质证明)_二叉树中h怎么算

树

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n >= 0)个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。树有一个特殊的结点，称为根节点，根节点是没有前驱节点的，并且除根节点外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的。即任何一棵树都可以被分解成为根+子树的形式，并且子树可以再被分解其相应的根和子树，直至不可分割为止。

递归：一般是解决分治类问题，也就是把当前问题分解成为子问题，子问题可以继续再进行分解

树的相关概念：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

满二叉树

完全二叉树

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=Log(n+1). (ps：Log(n+1)是log以2为
   底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
   于序号为i的结点有：
   • 若i>0，i位置节点的 双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n 否则无左孩子
   • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子

对二叉树性质3的证明

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

证明：

习题练习

• 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
  A 不存在这样的二叉树
  B 200
  C 198
  D 199

选B，由二叉树的性质3可知n0 = n2 + 1，所以n0 = 199 + 1 = 200

• 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
  A n
  B n+1
  C n-1
  D n/2

选A，首先完全二叉树度为1(即n1)的节点的个数只能是0或1个，即 n1∈{0,1} ，由于 n0 + n1 + n2 = 2n，且 n0 = n2 + 1，所以 2n0 + n1 = 2n + 1。当 n1 = 0时，n0 = n + (n / 2)；当 n1 = 1时，n0 = n。

• 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
  A 11
  B 10
  C 8
  D 12

选B，首先根据性质4可知，若为满二叉树，则其高度为 h = Log(n+1)(以2为底)，再联系满二叉树和完全二叉树的概念，可得知完全二叉树的前n-1层是满的，因此若为完全二叉树，则 2^h - 1^ + x = n ,其高度为h = log(n - x) + 1，且x∈[1,2^h-1]，所以代入题中，h = log(531 - x) + 1，还是得不出答案，于是我们可以根据选项来排除，若h = 11，则2^11 - 1^= 1024，对应x∈[1,512]，则1024 + x = 531，不成立；若h = 10，则2^10 - 1^= 512，对应x∈[1,256]，则 512 + x = 531，成立；因此该树得高度为10。

• 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
  A 383
  B 384
  C 385
  D 386

选B，过程思想同第二个习题