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数学,可以用美(beauty
)来形容吗?
作者Ian Sample
在文章Magic Numbers: Can Maths Equations Be Beautiful?
中,说了这样一句话:Maths has the same capacity for beauty as art, music, a full blanket of stars on the darkest night
。数学具有与艺术,与音乐,与漆黑夜空中繁星闪耀般同质的美。
那闪耀群星中,有一颗让人如痴如醉,摄人心魄的星辰。费曼把它称作The most remarkable formula in mathematics
,全宇宙中,最美丽的公式----欧拉公式。
e
i
π
+
1
=
0
e^{i\pi}+1=0
eiπ+1=0
诶,也许你会说了,这不就是一个指数函数嘛,怎么就跟美扯上关系了?这都美的话,那我还说
1
+
1
=
2
1+1=2
1+1=2也是最美的公式呢!别急,让我们一点一点的来,好茶需要慢慢品味。
在这之前,有个秘密我想分享给大家。其实自然常数 e e e,一点也不自然!
说到自然常数
e
e
e的身世,就不得不提另一个概念:复利公式。我们都知道,存款是有利率的,假设这个年利率为
1
/
n
1/n
1/n,在
n
n
n年之后,连带着本金应当为:
I
×
(
1
+
1
n
)
n
I\times(1+\frac{1}{n})^n
I×(1+n1)n
假设本金
I
=
1
I=1
I=1,于是公式(2)可以变形为:
(
1
+
1
n
)
n
(1+\frac{1}{n})^n
(1+n1)n
这个式子,考研的同学应当熟稔于心了吧,什么?不太清楚?那这样呢:
l
i
m
n
→
inf
(
1
+
1
n
)
n
lim_{n\to\inf}(1+\frac{1}{n})^n
limn→inf(1+n1)n
我们洛一下看看?
l
i
m
(
1
+
1
n
)
n
=
l
i
m
e
l
n
(
1
+
1
n
)
n
=
e
l
i
m
n
(
l
n
(
1
+
1
n
)
)
=
e
l
i
m
l
n
(
1
+
1
n
)
′
1
n
′
=
e
l
i
m
1
1
+
1
n
=
e
1
=
e
lim\ (1+\frac{1}{n})^n=lim\ e^{ln(1+\frac{1}{n})^n}\\ =e^{lim \ n(ln(1+\frac{1}{n}))}\\ =e^{lim\ \frac{ln(1+\frac{1}{n})'}{\frac{1}{n}'}}\\ =e^{lim\ \frac{1}{1+\frac{1}{n}}} \\ =e^1 \\ =e
lim (1+n1)n=lim eln(1+n1)n=elim n(ln(1+n1))=elim n1′ln(1+n1)′=elim 1+n11=e1=e
当然,是先有的这个公式,然后才有的
e
e
e,在平时的学习中,则是通过后验知识
e
e
e去求解极限。或许,单凭这个公式并不能看出来什么,我们再举个例子。
假设有一个飞船以速度1
进行飞行,在一小时后,它的速度突然变成了2
,速度的变化率是
100
%
100\%
100%。可能不少同学会觉得,经典物理世界中速度是连续的啊,怎么可以突变呢?
假设嘛当然要大胆点啦,所以我们接下来更加大胆:假设飞船每半个小时加一次能够突变速度的燃料,加速到一半时,之前的速度再次突变,每半个小时的数率变化都是之前的50%,那么一个小时中,飞船的速度变化为 ( 1 + 100 % 2 ) 2 = 2.25 (1+\frac{100\%}{2})^2=2.25 (1+2100%)2=2.25,第一个三十分钟,速度的变化率是 50 % 50\% 50%,第二个三十分钟,速度的变化率也是 50 % 50\% 50%。一个三十分钟,又可以拆成三个十分钟,一个十分钟又可以拆成十个一分钟…
直到最后,一小时成了无限个连续
(
n
→
lim
)
(n\to\lim)
(n→lim)的小时间块,假设这些小时间块远远小于一个刹那,那么我们可以近似认为,这一个小时是连续的。让这些小时间块继承速率变化,那么每一块时间块能继承的数率为:
1
n
\frac{1}{n}
n1,(加起来或者说积分起来是1哦)。于是,在给定的单位时间内,飞船的速度变化的极限应该是:
1
×
(
1
+
1
n
)
n
(
n
→
lim
)
=
e
1\times(1+\frac{1}{n})^n(n\to \lim)=e
1×(1+n1)n(n→lim)=e
有些难理解,简单来说,如果有个细胞在单位时间是翻倍变化的,如果过程是离散的,那时刻1
和时刻2
对应的数量应当发生裂变。可如果过程是连续的,那么当时刻1.5
时,此时已经有1.5
时刻发生裂变的产生的新细胞和原始细胞了,原始细胞的进度是
50
%
50\%
50%,在下一个0.5
时刻,这原始细胞和新细胞都要发生分裂。当这个时间足够小,分裂的极限就是e
。
也就是说,e
是连续的代言人,是增长的极限。
以上,是乘法上的e
,也是其中非常重要的意义之一。
如果我们将
e
e
e通过泰勒展开,可以得到如下的无穷级数:
e
=
1
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
1
4
!
+
⋯
+
1
n
!
e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}
e=1+1!1+2!1+3!1+4!1+⋯+n!1
同样可以这样理解:初始细胞量最终应该分裂出等量的细胞,所以是
1
+
1
1
!
1+\frac{1}{1!}
1+1!1,而半途中分裂出的新细胞,又可以继续分裂
1
2
!
\frac{1}{2!}
2!1,直到无穷。
当这个
e
e
e作为底数,引入变量
x
x
x后的泰勒展开为:
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
+
x
n
n
!
e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}
ex=1+1!x+2!x2+3!x3+4!x4+⋯+n!xn
欧拉发现,这个级数的展开怎么跟下面俩玩意长得差不多呢?
c
o
s
(
x
)
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
x
8
8
!
+
⋯
s
i
n
(
x
)
=
x
1
!
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ sin(x)=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
cos(x)=1−2!x2+4!x4−6!x6+8!x8+⋯sin(x)=1!x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯
这俩系数一个是02468...
一个是13579...
(我乱说的),加起来是不是就完整啦!
c
o
s
(
x
)
+
s
i
n
(
x
)
=
1
+
x
1
!
−
x
2
2
!
−
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
x
5
5
!
+
⋯
+
x
n
n
!
cos(x)+sin(x)=1+\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}
cos(x)+sin(x)=1+1!x−2!x2−3!x3+4!x4+5!x5+⋯+n!xn
这不就是换了符号的
e
x
e^x
ex吗?那么该如何让两者之间产生联系??观察可以发现,每当
x
2
x^2
x2的时候,都会更换符号!
x
2
=
−
1
!
x^2=-1!
x2=−1! 这不就是虚数吗!
你问什么是虚数?
看,这是一个数轴:
x = 1 x=1 x=1是数轴上的一个点:
我们把他旋转180°
,就成了
x
=
−
1
x=-1
x=−1
那如果是旋转90°
呢?这个点会跑到哪里去?
诶诶诶,这不对啊,这里根本没有轴啊!这里是空的啊!
是的,没错,这里是空的,是虚假的。要不然怎么称虚数是数学史上最大胆的想象呢~数学家们凭空在这里填上了一个维度,要问这个维度的意义嘛,那就是 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1
这样一个二维坐标系,以Image
和Real
为坐标轴,我们将其称为复平面。
复平面中的点可以表示为:
(
a
,
b
)
=
a
+
b
i
(a,b)=a+bi
(a,b)=a+bi
等号右边的也叫做复数(Complex number)。
我们让实数变量x
作为虚数ix
,那么就可以得到:
e
i
x
=
1
+
i
x
1
!
−
x
2
2
!
−
i
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
+
x
n
n
!
=
c
o
s
(
x
)
+
i
⋅
s
i
n
(
x
)
e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\\ =cos(x)+i\cdot sin(x)
eix=1+1!ix−2!x2−3!ix3+4!x4+⋯+n!xn=cos(x)+i⋅sin(x)
于是最终的欧拉公式写作:
e
i
x
=
c
o
s
(
x
)
+
i
⋅
s
i
n
(
x
)
e^{ix}=cos(x)+i\cdot sin(x)
eix=cos(x)+i⋅sin(x)
这个公式将三角函数与复指数函数联系了起来,当变量
x
x
x取值为
π
\pi
π时,我们可以化简为:
e
i
π
=
−
1
+
0
e^{i\pi}=-1+0
eiπ=−1+0
也就是我们一开始看到的:
e
i
π
+
1
=
0
e^{i\pi}+1=0
eiπ+1=0
自然常数
e
e
e,抽象虚数
i
i
i,圆周率
π
\pi
π,
0
0
0和
1
1
1,就这样被巧妙的联系在了一起。
几何意义
如果x
是随时间线性变化的参数,那么,可以得到如下三维坐标轴上的螺旋线,这个螺旋线在复平面上的投影是一个圆,投影点在圆上做匀速圆周运动。
e
i
1
e^{i 1}
ei1表示在复平面上覆盖了一个单位角的所有点,这是由公式
e
=
lim
(
1
+
i
n
)
n
e=\lim (1+\frac{i}{n})^n
e=lim(1+ni)n
取值得到的。
由此,我们可以推出一个指数虚数的含义,例如 3 i 3^i 3i,可以转换为: e i l n 3 e^{iln3} eiln3即在复平面圆周上运动 l n 3 ln3 ln3弧度。
参考文献
[1] https://www.zhihu.com/question/284620618/answer/523818835
[2] https://www.zhihu.com/question/23074201/answer/23524103
[3] https://www.bilibili.com/video/BV1Es411P7tr/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.0&vd_source=b6ddb37b0dc1af8da34b699b1daf8a16
[4] https://zhuanlan.zhihu.com/p/19759362
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/151226805
ommend_more_video.0&vd_source=b6ddb37b0dc1af8da34b699b1daf8a16
[4] https://zhuanlan.zhihu.com/p/19759362
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/151226805
[6] https://www.matongxue.com/madocs/8
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