n皇后问题的两种解题思路_2. n皇后问题

一、n皇后问题介绍

在一个n*n的棋盘放置n个皇后，使皇后彼此之间不能相互攻击，满足:
1、同一行只能有一个皇后 
2、同一列只能有一个皇后
3、每个皇后所在的主次对角线只有一个皇后，即它本身
共有多少种满足要求的摆法？

例如:
**.*
.***
***.  这是一种4*4中的一种摆放方式，其中'*'代表没有放置,'.'代表
*.**  放置了皇后
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二、解题思路

可以从上往下依次摆放皇后，对于每一行，检查该行每一列是否满足摆放的
要求，如若满足，继续摆放下一行，直至每一行都有符合要求的皇后，得到
一种可行的摆放方案，然后通过回溯尝试不同的可能性。
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三、实现流程

1.首先定义一个n*n的二维数组，为方便，可以将cheeboard[i][k]=0定义
成未放皇后，1为放置了皇后

2.然后调用backtracking函数，用for循环从第一行开始对每一列测试放皇
后，当然首先要满足那三个要求，这里可以用isValid函数对该位置能不能放
皇后进行判断，如若返回真，则将cheeboard[i][k]赋值为1，并调用
backtracking函数进行下一行皇后的摆放，最后回溯将cheeboard[i][k]
赋值为0，看看该行其余列是否可以放皇后

3.对于backtracking的返回条件，当然是当row(当前所在行) = n，即已经
将每一行都放置了皇后后结束,同时sum++,这样就找到了一种摆法，通过不断
重复这些操作，即可将所有情况找出来。
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四、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 10;
int sum = 0; // 摆放的总数 
bool isValid(int chessboard[MAXN][MAXN], int n, int row, int col){
	for (int i = 0; i < row; i ++) {  // 判断是否同列,因为是从上往下一行一行来的，所以1到row-1即可 
		if (chessboard[i][col] == 1) // 且不用再判断是否是同一行了
			return false;
	}
	for (int i = row - 1, k = col - 1; i >= 0 && k >= 0; i --, k --) {
		if (chessboard[i][k] == 1) // 判断与主对角线平行的对角线,即左上的斜线 
			return false;
	}
	for (int i = row - 1, k = col + 1; i >= 0 && k < n; i --, k ++) {
		if (chessboard[i][k] == 1) // 判断与次对角线平行的对角线，即右上的斜线 
			return false;
	}
	return true;
}
void backtracking(int chessboard[MAXN][MAXN], int n, int row){
	if(row == n) { // 所有行都放了皇后 
		sum ++;
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i ++) { // 对该行每一列测试放皇后 
		if (isValid(chessboard, n, row, i)) {
			chessboard[row][i] = 1;
			backtracking(chessboard, n, row + 1); // 进行下一行的放置 
			chessboard[row][i] = 0; // 回溯 
		}
	}
} 
int main() {
	int n;
  	cin >> n;
  	int chessboard[MAXN][MAXN] = {0};
  	backtracking(chessboard, n, 0);
  	cout << sum;
  	return 0;
}
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五、改进方法

上面的方法是通过对每一行每一列依次判断的，并且isValid用了三个for
循环，因此会有点浪费时间，那么有没有什么可以优化的地方呢？答案是有
的。

我们可以将二维数组直接降为一维数组，通过对二维数组的定义，可以发现，
只有放置了皇后的才置为了1，其余都为0。那么实际上我们可以定义一个
result数组,其中result[i] = k表示第i行的第k列放置了皇后(假设
下标从0开始)

那么可以通过for循环对result[i]不同的赋值(0到n-1)实现在每一行的每一
列测试放置皇后，同时isValid函数中可以只用一个for循环解决,其中判断
条件为(result[i] = col || abs(row-i) == abs(col-result[i])),
前者判断该列是否已经有了皇后(result[i]存储的是第i行的皇后位置，后者
判断该位置(row,col)的同一斜线是否有皇后，因为如果在同一斜线上，行数
之差等于列数之差

这样，我们就实现了优化，下面是代码:
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 10;
int sum = 0; // 摆放的总数 
int result[MAXN] = {0};
bool isValid(int n, int row, int col){
	for (int i = 0; i < row; i ++) {  // 判断是否同列,因为是从上往下一行一行来的，所以1到row-1即可 
		if (result[i] == col || abs(row - i) == abs(col - result[i]))
			return false;
	}
	return true;
}
void backtracking(int n, int row){
	if(row == n) { // 所有行都放了皇后 
		sum ++;
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i ++) { // 对该行每一列测试放皇后 
		if (isValid(n, row, i)) {
			result[row] = i; // 注意这里的写法，表示第row行第i列放置了皇后 
			backtracking(n, row + 1); // 进行下一行的放置 
			result[row] = 0; // 回溯 
		}
	}
} 
int main() {
	int n;
  	cin >> n;
  	backtracking(n, 0);
  	cout << sum;
  	return 0;
}
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七、结语

每道题问的不一定一样，需要根据具体题目灵活变通，n皇后问题最重要的是理解其中的回溯思想。希望这篇文章有所帮助！qwq