二分查找 - 数据结构和算法教程_设计二分检索树的构造与检索递归程序, 并将其改写成相应的迭代 算法。

二分查找被定义为在排序数组中使用的一种搜索算法，它通过重复将搜索间隔分成两半来实现。二分查找的思想是利用数组被排序的信息，将时间复杂度降低到O（log N）。

在数据结构中应用二分查找的条件

• 数据结构必须排序。
• 访问数据结构的任何元素都需要恒定的时间。

二分查找算法

在该算法中，

• 通过查找中间索引“mid”将搜索空间分成两半。
  
• 将搜索空间的中间元素与键进行比较。
• 如果在中间元素处找到键，则终止该过程。
• 如果在中间的元素处没有找到键，请选择将哪一半用作下一个搜索空间。
• • 如果关键字小于中间的元素，则左侧用于下一次搜索。
• • 如果关键字大于中间的元素，则右侧用于下一次搜索。
• 这个过程一直持续到找到关键字或耗尽总搜索空间。

二分查找是如何工作的？

考虑一个数组arr[] = {2，5，8，12，16，23，38，56，72，91}，目标= 23。

第一步：计算mid并将mid元素与目标key进行比较。如果键小于mid元素，则向左移动，如果键大于mid元素，则向右移动搜索空间。

• key（23)大于当前的中间元素（16）。搜索空间向右移动。
  

• key小于当前的中位56。搜索空间向左移动。
  

第二步：如果键与mid元素的值匹配，则找到该元素并停止搜索。

如何实现二分查找？

二进制搜索算法可以通过以下两种方式实现

• 迭代二分查找算法
• 递归二分搜索算法

下面给出的是这些方法的伪代码。

1.迭代二分查找算法：

在这里，我们使用一个while循环来继续比较键并将搜索空间分成两半的过程。

迭代二分查找python实现：

# It returns location of x in given array arr
def binarySearch(arr, l, r, x):

	while l <= r:

		mid = l + (r - l) // 2

		# Check if x is present at mid
		if arr[mid] == x:
			return mid

		# If x is greater, ignore left half
		elif arr[mid] < x:
			l = mid + 1

		# If x is smaller, ignore right half
		else:
			r = mid - 1

	# If we reach here, then the element
	# was not present
	return -1


# Driver Code
if __name__ == '__main__':
	arr = [2, 3, 4, 10, 40]
	x = 10

	# Function call
	result = binarySearch(arr, 0, len(arr)-1, x)
	if result != -1:
		print("Element is present at index", result)
	else:
		print("Element is not present in array")

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输出：

Element is present at index 3
1

时间复杂度：O（log N）
空间复杂度：O（1）

2.递归二分查找算法：

创建一个递归函数，并将搜索空间的中点与键进行比较。并根据结果返回找到键的索引或调用下一个搜索空间的递归函数。

递归二分查找python实现：

# Returns index of x in arr if present, else -1
def binarySearch(arr, l, r, x):

	# Check base case
	if r >= l:

		mid = l + (r - l) // 2

		# If element is present at the middle itself
		if arr[mid] == x:
			return mid

		# If element is smaller than mid, then it
		# can only be present in left subarray
		elif arr[mid] > x:
			return binarySearch(arr, l, mid-1, x)

		# Else the element can only be present
		# in right subarray
		else:
			return binarySearch(arr, mid + 1, r, x)

	# Element is not present in the array
	else:
		return -1


# Driver Code
if __name__ == '__main__':
	arr = [2, 3, 4, 10, 40]
	x = 10
	
	# Function call
	result = binarySearch(arr, 0, len(arr)-1, x)
	
	if result != -1:
		print("Element is present at index", result)
	else:
		print("Element is not present in array")

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输出：

Element is present at index 3
1

二分查找的复杂度分析

时间复杂度：
最佳情况：O（1）
平均情况：O（log N）
最坏情况：O（log N）
空间复杂度：O（1），如果考虑递归调用栈，那么空间复杂度为O（logN）。

二分查找的优点

• 二分查找比线性搜索更快，特别是对于大型数组。
• 比具有类似时间复杂度的其他搜索算法（例如插值搜索或指数搜索）更有效。
• 二分查找非常适合搜索存储在外部存储器中的大型数据集，例如硬盘驱动器或云中。

二分查找的缺点

• 数组应该排序。
• 二分查找要求被搜索的数据结构存储在连续的存储器位置中。
• 二分查找要求数组的元素是可比较的，这意味着它们必须能够被排序。

二分查找的应用

• 二分查找可以用作机器学习中使用的更复杂算法的构建块，例如用于训练神经网络或找到模型的最佳超参数的算法。
• 它可以用于计算机图形学中的搜索，例如光线跟踪或纹理映射算法。
• 它可以用来搜索数据库。